1.2. Решение типовых задач

Задача № 1.1

Имеются данные о сменной выработке рабочих бригады, представленные интервальным рядом распределения (исходные данные - в столбцах 1-2):

Определить:

а) среднесменную выработку рабочих;

б) дисперсию выработки;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации.

Сделать вывод.

Решение:

а) среднесменная выработка рабочих определяется:

- по формуле средней арифметической взвешенной:

- по «способу моментов»:

где А - середина интервала, обладающего наибольшей частотой: f маx =50, А=220.

б) дисперсия выработки рассчитывается:

- по формуле средневзвешенной дисперсии:

- по упрощенным методам расчета дисперсии:

где

в) среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

г) коэффициент вариации определяется по формуле:

Вывод: данная бригада достаточно однородна по выработке и средняя считается надежной и типичной, поскольку вариация признака составляет лишь 8%, т. е. больше 33%.

Задача № 1.2

При изучении влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе были получены данные, представленные в следующей таблице (исходные данные в столбцах 1, 2, 4, 5):

Определить:

а) внутригрупповые дисперсии;

б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию;

д) проверить правило сложения дисперсий.

Решение:

В этом примере данные группируются по квалификации рабочих, являющихся факторным признаком. Результативный признак варьирует как под влиянием систематического фактора - квалификации (межгрупповая вариации), так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.

а) средняя выработка по каждой бригаде считается по формулам арифметической простой и взвешенной:

- по первой группе:

- по второй группе:

- по двум группам:

Внутригрупповые дисперсии показывают вариацию выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме различий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию) и рассчитываются по формуле:

- по первой группе: где

- по второй группе: где

б) средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих, но в среднем по всей совокупности и рассчитывается по формуле:

в) межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и рассчитывается по формуле:

г) общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и рассчитывается по формуле:

д) правило сложения дисперсий: