1.3 Показатели вариации

Вариацией признаков называется наличие различий в численных значениях признаков у единиц совокупности явлений. Существует пять обобщающих показателей вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации - абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями:

, (1.3.1)

где: R - размах вариации;

- максимальное значение изучаемого признака;

- минимальное значение изучаемого признака.

Среднее линейное отклонение от средней представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных отклонений конкретных вариантов от их среднего значения:

; , (1.3.2а, б)

где: - для первичного ряда;

- для вариационного ряда.

Дисперсия, или средний квадрат отклонений рассчитывается по формулам:

; . (1.3.3а, б)

Среднее квадратическое отклонение от средней высчитывается по формуле:

. (1.3.4)

Коэффициенты вариации:

; . (1.3.5а, б)

Кроме рассмотренных показателей имеются другие показатели, которые характеризуют структуру рядов распределения, например мода и медиана.

Мода - это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемых явлениях.

Мода в интервальных рядах высчитывается по формуле:

, (1.3.6)

где: М_о - мода;

x_mo - нижняя граница модального интервала Модальным считается интервал, который имеет максимальную частоту (f).;

i_mo - величина модального интервала;

f_mo - частота соответствующая модальному интервалу;

f_mo-1 - частота предшествующая модальному интервалу;

f_mo+1 - частота интервала следующего за модальным.

Медиана - величина, которая делит численность упорядоченного ряда на 2 равные части, одна имеет значение варьирующего признака меньше чем средний вариант, а другая больше.

Медиана в интервальных рядах высчитывается по формуле:

, (1.3.7)

где: M_e - медиана;

x_mе - нижняя граница медианного интервала Интервал, частота которого больше или равна полусумме частот ряда.;

f - сумма частот ряда;

S_me-1 - сумма частот, накопленная до медианного интервала;

F_me - частота медианного интервала.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемого явления применяют квартили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Вторым квартилем является медиана. Формулы для остальных квартилей в интервальном ряду имеют вид:

; , (1.3.8)

где: x_Q1 и x_Q3 - нижние границы соответствующих квартильных интервалов Интервалы, частоты которых больше или равны 1/4 и 3/4 суммы всех частот соответственно.;

i_Qi - величина соответствующего интервала;

S_Q1-1 и S_Q3-1 - накопленные частоты интервалов, предшествующих соответствующим квартильным;

f_Q1 и f_Q3 - частоты соответствующих квартильных интервалов.

Квартильное отклонение считается по формуле:

. (1.3.9)

Относительный показатель квартильной вариации:

. (1.3.10)

Коэффициент осцилляции:

. (1.3.11)

Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывают показатель асимметрии:

, (1.3.12)

где: ₃ - центральный момент 3го порядка.

, . (1.3.13а, б)

Степень существенности этого показателя оценивается с помощью средней квадратичной ошибки:

. (1.3.14)

Если , то асимметрия существенна.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса:

, (1.3.15)

где: ₄ - центральный момент четвертого порядка.

; . (1.3.16а, б)

Средняя квадратичная ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:

. (1.3.17)

Если , то эксцесс существенен.