Задание 1
Стоимостной МОБ включает пять отраслей:
1. тяжелая промышленность;
2. легкая промышленность;
3. строительство;
4. сельское и лесное хозяйство;
5. прочие отрасли.
1) Необходимо составить плановый МОБ, если спрос на конечную продукцию на следующий год по всем отраслям увеличится на (4+n)%.
2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на (2+n/2)%.
3) Определить равновесные цены в предположении (4+n/3)%-го роста заработной платы по каждой отрасли. Проследите эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считайте, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).
Таблица 1 - Таблица межотраслевых потоков
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
1 |
46,07 |
3,28 |
17,64 |
6,19 |
4,82 |
|
2 |
3,92 |
38,42 |
0,84 |
0,86 |
2,25 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0,52 |
27,22 |
1,01 |
16,18 |
0 |
|
5 |
16,08 |
10,1 |
4,73 |
0,34 |
0,4 |
Таблица 2 - Таблица конечных продуктов
1 |
48,18 |
|
2 |
91,16 |
|
3 |
43,8 |
|
4 |
28,33 |
|
5 |
3,04 |
Таблица 3 - Таблицы стоимости фондов и затрат труда
Стоимость фондов |
200 |
110 |
130 |
250 |
80 |
|
Стоимость затрат труда |
100 |
80 |
50 |
35 |
33 |
Решение:
Введем следующие обозначения:
- общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли;
- объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью (i, j = 1, 2, ... п);
- объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.
Тогда
Перепишем эту систему уравнений
введя коэффициенты прямых затрат . Обозначим Х - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продута, А = (аij) - матрица прямых затрат, (i, j = 1, 2, ... п). Тогда соотношения баланса перепишутся в матричном виде: Это соотношение называется матричным уравнением Леонтьева.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании таково вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем последнее уравнение в виде
Если то решение задачи межотраслевого баланса записывается
Матрица называется матрицей полных затрат.
Представим исходные данные задачи в виде одной таблицы - матрицы межотраслевого баланса:
ОТРАСЛЬ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
1 |
тяжелая промышленность |
46,07 |
3,28 |
17,64 |
6,19 |
4,82 |
48,18 |
126,18 |
|
2 |
легкая промышленность |
3,92 |
38,42 |
0,84 |
0,86 |
2,25 |
91,16 |
137,45 |
|
3 |
строительство |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
43,8 |
43,8 |
|
4 |
сельское и лесное хозяйство |
0,52 |
27,22 |
1,01 |
16,18 |
0 |
28,33 |
73,26 |
|
5 |
прочие отрасли |
16,08 |
10,1 |
4,73 |
0,34 |
0,4 |
3,04 |
34,69 |
1) Матричные вычисления произведем с помощью пакета Excel. Итак, матрицы
.
Матрица полных затрат
По условию задачи, спрос по всем отраслям должен увеличиться на 8%, т.е. вектор конечного продукта должен стать .
Тогда искомый вектор валового выпуска
Составим новую матрицу межотраслевого баланса (с точностью до второго знака после запятой). Для этого воспользуемся формулами:
;
;
;
.
Промежуточные вычисления (с точностью до 2-го знака после запятой:
=.
После чего новая матрица межотраслевого баланса будет выглядеть:
|
ОТРАСЛЬ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
|
1 |
тяжелая промышленность |
60,438 |
74,404 |
58,72 |
72,679 |
71,33 |
3875,28 |
4212,85 |
|
2 |
легкая промышленность |
43,375 |
35,122 |
43,712 |
45,307 |
43,227 |
4424,46 |
4635,2 |
|
3 |
строительство |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3804,54 |
3804,54 |
|
4 |
сельское и лесное хозяйство |
43,828 |
34,105 |
43,825 |
40,993 |
43,092 |
4380,10 |
4585,94 |
|
5 |
прочие отрасли |
25,413 |
28,346 |
24,929 |
30,096 |
28,756 |
4350,89 |
4488,43 |
2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на 6%, т.е. конечный продукт станет равным
.
В результате этого изменения эффект распространения будет заключаться в том, что новый вектор валового выпуска будет иметь вид
Для нахождения эффекта распространения привлечем уравнение для цен:
P = AT P + v, откуда P = (E - AT)-1v.
Обратная матрица Леонтьева (E - AT)-1 - ценовой матричный мультипликатор - матричный мультипликатор ценового эффекта распространения.
Этот мультипликатор эффекта распространения найдем с помощью пакета Excel, сначала транспонируя матрицу А, затем отнимая ее от единичной матрицы и находя обратную матрицу. Проводя эти вычисления, получим:
.
Этот результат в качестве промежуточного будет использован в следующем пункте при расчете равновесной цены.
3) Отношение vj = Vj/Xj - называют долей добавленной стоимости, а вектор v = (v1,…,vn) - вектор долей добавленной стоимости. В матричном виде уравнение для цен будет иметь следующий вид
P = AT P + v.
Решая уравнение это относительно Р, получим
P = (E - AT)-1v.
По условию задачи, вектор v = (0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).
Тогда, с помощью пакета Excel, найдем равновесные цены:
.
При этом эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считая, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547) дается мультипликатором эффекта распространения:
.
- Преимущества направления «Экономика» профиля «Математические методы в экономике»
- Раздел 2. Математические методы в экономике
- Основные математические методы исследования экономики.
- 2.4. Математические методы в экономике
- Математические методы в экономике
- Секция «Математические методы в экономике»
- 7. Математические методы в экономике