1.2 Узагальнена схема математичного моделювання
У загальному вигляді модель (від лат. «modulus» — зразок, норма, міра) можна визначити як умовний образ (спрощене зображення) реального об'єкту (процесу), який створюється для глибшого вивчення дійсності. Спосіб дослідження будь-яких явищ, процесів або об’єктів шляхом побудови та аналізу їх моделей називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена складністю, а іноді і неможливістю прямого вивчення реального об'єкту (процесу). Ці моделі відображають істотні властивості реального об'єкту (процесу), хоча насправді дійсність значне змістовніше і багатше. [?]
Таким чином, процес моделювання являє собою дослідження об'єктів пізнання на їхніх моделях – побудову й вивчення моделей реально існуючих предметів й явищ. Можливість поширювати накопичений досвід на інші системи, що мають той або інший ступень подібності до первісної системи, універсалізація знання приходить із агрегуванням і систематизацією відомостей про досліджуваний об'єкт. Саме на цьому рівні стає у нагоді методологія економіко-математичного моделювання, тобто галузь знань, що досліджує передумови, принципи, структуру, логічну організацію, засоби й методи застосування формальних математичних методів до дослідження й вирішення проблем функціонування, управління й розвитку економічних систем. Це дозволяє сформулювати наступне визначення. [Т1]
Економіко-математична модель – математичне відображення економічного процесу або економічної системи, що використовується під час дослідження замість об'єкту-оригіналу – економічної системи – з метою аналізу, визначення кількісних або логічних зв'язків між його різними частинами. [Т1]
Математична модель – це абстракція реальної дійсності (світу), в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника, замінені відношеннями між математичними категоріями. Ці відношення зазвичай подаються у формі рівнянь і/чи нерівностей, відношеннями формальної логіки між показниками (змінними), які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.
Процес моделювання – це швидше мистецтво, ніж наука. Проте, він припускає деякі цілком певні етапи. Моделювання – це перш за все уміння виділити головне. Моделі повинні бути по можливості простими, проте вони повинні включати всі найважливіші частини досліджуваної системи (оригіналу), найважливіші функції і найважливіші зв'язки, внутрішньосистемні і зовнішні. Але таких елементів, вибраних для подальшого детального дослідження, повинна бути обмежена кількість, інакше важко вести аналіз [П1].
Для того, щоб знайти головні елементи і зв'язки системи, слід зосередити увагу на трьох важливих моментах:
1. Визначити головну мету системи, відповівши на питання про те, навіщо існує система і які головні функції вона виконує.
2. Зрозуміти роботу системи і визначити головні елементи (підсистеми), що беруть участь у виконанні головної функції.
3. Встановити важливі зв'язки між цими частинами.
При цьому зв'язки і частини системи будуть дійсно важливими, якщо після їх виключення з неї система «розсипається». І навпаки, якщо ми виключили якусь частину або зв'язок і нічого не змінилося, то це не головна частина або, відповідно, не важливий зв'язок [П1].
Навчитися моделюванню, обмежившися тільки формальним засвоєнням якихось правил, звичайно, неможливо. Але все таки є правила, до яких варто прислухатися. Наприклад, до правил академіка Ю.І. Неймарка. Вони достатньо загальні і не можуть служити безпосередньою вказівкою до дії, але дають розумні підказки, що і як слід робити:
1. Чим простіше модель, тим менше можливість помилкових висновків.
2. Модель повинна бути простою, але не простіше, ніж це можливо.
3. Нехтувати можна чим завгодно, потрібно тільки знати, як це вплине на рішення.
4. Модель повинна бути грубою: малі поправки не повинні кардинально міняти її поведінку.
5. Модель і розрахунок не повинні бути точніше за початкові дані [П1].
У наш час математичне моделювання входить у третій принципово важливий етап свого розвитку, «вбудовуючись» у структури так званого інформаційного суспільства. Бурхливий прогрес засобів аналізу, опрацювання, передачі та зберігання інформації відповідає сучасним тенденціям соціального буття. Без володіння інформаційними «ресурсами» не варто й думати про розв'язання дедалі більш складних та різноманітних проблем, які постають перед світовою спільнотою. Однак інформація сама по собі здебільшого мало що дає для аналізу та прогнозування, для прийняття рішень і контролю за їх виконанням. Необхідні надійні способи опрацювання інформаційної «сировини» в готовий «продукт», тобто в точні знання. Історія методології математичного моделювання переконує: вона може й повинна бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, усього процесу інформатизації суспільства.
Тому математичне моделювання є неминучою складовою науково-технічного прогресу.
Уже сама постановка питання щодо математичного моделювання будь-якого об'єкта породжує чіткий план дій, який умовно можна поділити на три етапи: модель-алгоритм-програма (рис. 2.1).
Рисунок 1.1 – Узагальнена схема математичного моделювання
Зазначимо, що умовою розробки моделі є принцип так званої інформаційної достатності. Це означає, що системний аналітик повинен мати достатньо чітке уявлення про те, що вважати за вхідні та вихідні змінні досліджуваної системи, які чинники суттєво впливають на процес її функціонування. Якщо рівень інформаційної достатності низький, то створити модель, за допомогою котрої можна було б отримати нові знання про об'єкт-оригінал, майже неможливо.
Основні етапи побудови математичної моделі:
У загальних рисах можна виокремити чотири основні етапи процесу математичного моделювання економічних систем і подати їх за такою узагальненою схемою (рис.1.2).
Рисунок 1.2 – Узагальнена схема процесу економіко-математичного моделювання
Основні етапи побудови моделі:
Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз.
Розробка концептуальної моделі.
Математичний аналіз моделі.
Розробка програмної реалізації моделі.
Перевірка адекватності моделі.
Організація та планування проведення експериментів.
Інтерпретація результатів моделювання та прийняття рішень.
Оформлення результатів дослідження
Після кожного з вищезазначених етапів перевіряється достовірність моделі. Перевірку можна умовно розділити на два етапи: перевірка правильності створення концептуальної моделі, тобто задуму – валідація; перевірка правильності її реалізації – верифікація. Під час перевірки достовірності потрібно відповісти на запитання про відповідність моделі модельованій системі, тобто визначити, наскільки ізоморфні система та модель.
На етапі верифікації розглядають, чи правильно перетворено концептуальні модель на комп’ютерну програму, тобто виконують налагодження програми моделювання.
Валідація – це процес, який дає змогу встановити чи є модель (а не комп’ютерна програма) точним відображенням системи для конкретних цілей дослідження. [Т2]
Аккредитація – це офіційне визнання, того, що дана модель підходить для визначених цілей.
Зобразимо схему координації та взаємозв’язку валідації, верифікації та забезпечення довіри до моделі (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Схема координації та взаємозв’язку валідації, верифікації та забезпечення довіри до моделі [Т2]
Взаємозв'язки етапів. Звернімо увагу на зворотні зв'язки етапів, які виникають унаслідок того, що в процесі дослідження виявляються недоліки попередніх етапів моделювання.
Уже на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі суперечлива і призводить до надто складної математичної моделі. Відповідно до цього постановка економіко-математичної задачі коригується. Подальший математичний аналіз моделі (етап 3) може показати, що невелика модифікація постановки задачі чи її формалізації дає корисний аналітичний результат.
Найчастіше необхідність повернення до попередніх етапів моделювання виникає під час підготовки вихідної інформації. Може виявитися, що необхідна інформація відсутня чи затрати на її підготовку занадто великі. Тоді доводиться повертатися до постановки задачі та її формалізації, змінюючи їх так, щоб пристосуватися до наявної інформації.
1.3 Основні принципи побудови математичної моделі
Основні принципи побудови математичної моделі:
Необхідно співставляти точність та детальність моделі, по-перше, з точністю тих вихідних даних, котрими розполагає дослідник, і по-друге, з тими результатами, які потрібно отримати.
Математична модель повинна відображати суттєві риси досліджуваного явища і при цьому не повинна його сильно спрощувати.
Математична модель не може бути повністю адекватна реальному явищу, тому для його дослідження краще використовувати декілька моделей, для побудови яких застосовуються різні математичні методи. Якщо при цьому отримують схожі результати, то дослідження закінчується. Якщо результати сильно відрізняються, то потрібно переглянути постановку задачі.
Кожна складна система завжди перебуває малими зовнішніми та внутрішніми впливами, отже, математична модель повинна бути стійкою, тобто зберігати свої властивості та структуру при цих впливах.
Під економіко-математичною моделлю розуміють концентроване вираження найсуттєвіших економічних взаємозв'язків досліджуваних об'єктів (процесів) у вигляді математичних функцій, нерівностей і рівнянь.
Наголосимо, що математична модель – це об'єкт, котрий створюється системним аналітиком для отримання нових знань про об'єкт-оригінал і відбиває лише суттєві (з погляду системного аналітика) властивості об'єкта-оригіналу. Аналізуючи сутність зазначеного вище, можна зробити, зокрема, такі висновки:
а) будь-яка модель є суб'єктивною, вона несе в собі характерні риси індивідуальності системного аналітика;
б) будь-яка модель є гомоморфною, тобто в ній відбиваються (віддзеркалюються) не всі, а лише суттєві властивості об'єкта-оригіналу виходячи з цілей дослідження, узятої системи гіпотез тощо;
в) можливе існування множини моделей одного й того самого об'єкта-оригіналу, які відрізняються цілями дослідження, ступенем адекватності тощо.
Модель вважається адекватною об'єкту-оригіналу, якщо вона з достатнім ступенем наближення, на рівні розуміння системним аналітиком модельованого процесу відображає закономірності процесу функціонування реальної економічної системи у зовнішньому щодо об'єкта дослідження середовищі.