Методы и модели анализа динамики экономических процессов. Методы прогнозирования

План :

1. Динамические ряды и временные ряды, тренд, их компоненты.

2. Метод проверки разности средних уровней.

3. Метод Фостера - Стьюарта.

4. Адекватность трендовых моделей.

5. Оценки точности адекватных моделей.

Динамические процессы экономических систем часто проявляются в виде рядов значений показателей, расположенных в хронологическом порядке. Эти ряды отражают состояние развития рассматриваемого процесса.

Так как основные моменты, встречающиеся в экономике, выражаются через временные ряды, то в дальнейшем будем работать с временными рядами. Члены ряда называются уровнями. В зависимости от того, выражают ли уровни временного ряда значения экономического показателя в конкретный момент времени или в каком-либо промежутке врмени, такие ряды называются соответственно мгновенными временными рядами или интервальными временными рядами.

При определении существования тренда во временных рядах важную роль играют методы теории вероятностей и математической статистики. Нужно соблюдать крайнюю осторожность при выводе экономической интерпретации результатов, полученных с помощью этих методов.

Рассмотрим следующий временной ряд:

.

В общем случае временной ряд экономических показателей можно разделить на четыре составляющие:

· составляющая тренда - ;

· сезонная компонента - ;

· циклическая компонента - ;

· случайная компонента - .

Во временных рядах могут быть регулярные колебания. Если колебания периодические или близкие к ним, и завершаются в течение года, то говорят, что есть сезонные колебания. Если период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряду существует циклическая компонента.

Сезонные и циклические компоненты тренда называются регулярными компонентами временного ряда.

Оставшиеся после выделения из временного ряда регулярных компонент называются случайными компонентами или нерегулярными компонентами.

Построение моделей и проверка их адекватности связаны с наличием или отсутствием тренда во временном ряду.

Именно поэтому важно установление методов определения наличия тренда в рассматриваемом временном ряду. Ниже мы ознакомимся с двумя такими методами.

Сначала рассмотрим метод проверки разности средних уровней. Существуют четыре этапа осуществления этого метода:

1. Поделим уровни временного ряда на две примерно равных части объемами и .

2. Для каждой поделенной части вычисляется среднее значение и дисперсия:

, ,

, .

3. Проверим равенство дисперсий поделенных частей посредством F-критерия Фишера на основе его вычисленных и табличных значений.

.

Сравним эти отношения со значениями из таблицы F-критерия, соответствующими значениям (уровня значимости или ошибки). Обычно принимается (10% ная ошибка), 0,05 (5% ная ошибка), 0,01 (1% ная ошибка).

называется доверительной вероятностью.

Если , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходим к следующему, 4 му этапу.

Если , то гипотеза отвергается и проверку наличия тренда невозможно осуществить этим методом.

4. Гипотеза об отсутствии тренда проверяется через t-критерий Стьюдента. Сначала вычисляемое значение критерия Стьюдента находится по формуле

,

Где

.

Теперь ознакомимся с методом Фостера - Стьюарта. Этот метод считается более надежным, с большими возможностями по сравнению с предыдущим. На основе этого метода, помимо наличия тренда в ряду, также можно определить наличие тренда у его дисперсии. Если в тренде нет дисперсии, разброс уровней ряда будет постоянным. При увеличении дисперсии, ряд начнет “качаться”.

Применение этого метода также состоит из 4 этапов.

1. Каждый уровень ряда, начиная со второго, сравнивается с предшествующими, и определяются следующие две последовательности:

для

2. Вычисляются и :

; .

3. Этот этап посвящен проверке гипотез, при этом проверяется:

а) случайный характер отклонения от для ряда, уровни которого расположены случайно;

б) случайный характер отклонения от 0.

Такая проверка проводится с использованием табличных значений -критерия Стьюдента для среднего значения и дисперсии:

; ;

; .

и являются средними квадратическими отклонениями и .

4. Здесь вычисленные значения и сравниваются со значениями , соответствующими уровню значимости , из таблицы значений -критерия Стьюдента. Если вычисленные значения меньше табличных, принимается гипотеза об отсутствии тренда, в противном случае, отмечается наличие тренда.

Составление трендовых моделей в экономическом процессе дает возможность составления прогнозов о его развитии. Другими словами, с помощью модели мы имеем представление о будущем состоянии экономического показателя. Здесь, беря в качестве основы временной ряд, осуществляется экстраполяция, т.е. тенденция предыдущего состояния распространяется на последующие состояния.

Способ экстраполяции удобен для экономических процессов, имеющих тренд или устойчивое изменение.

Для того, чтобы трендовая модель для конкретного временного ряда была адекватной, разности должны удовлетворять четырем условиям для рассмотренных выше случайных компонент. Рассмотрим проверку выполнения или невыполнения этих условий.

1. Проверяется гипотеза о случайном характере изменений остаточной последовательности . Для этого составим разности , соответствующие . Колебания разностей изучается через критерий серий, основанный на медиане выборки. При этом ряд значений переписывается в порядке возрастания и находится его медиана (под медианой понимается член вариационного ряда, стоящий ровно посередине, когда число членов нечетно; и среднее арифметическое двух стоящих посередине членов, когда число членов четно).

Медиану обозначим через . Вернемся к предыдущему ряду, сравним его члены с и при поставим знак “+”, в противном случае -- знак “-“. А в случае соответствующие пропускаются.

Продолжительность самой длинной серии обозначим через , а общее число серий -- через . Для того, чтобы выборка была случайной, проверяется выполнение неравенств

,

с 5% ным уровнем значимости. Здесь означает целую часть . Если по крайней мере одно из этих неравенств не выполняется, то гипотеза о случайном характере колебаний уровней не принимается, и, следовательно, трендовая модель неадекватна.

Пусть число точек поворота равно . В случайной выборке является случайной величиной, и ее среднее значение и дисперсия вычисляются следующим образом:

,

Если не выполняется неравенство

,

то трендовая модель называется неадекватной.

2. При проверке предположения о подчинении нормальному закону распределения случайной компоненты (ввиду не очень большой длины соответствующего временного ряда) используются значения показателей ее ассиметрии и эксцесса. При этом отметим равенство нулю показателей ассиметрии и эксцесса нормально распределенной генеральной совокупности.

Если , , … , рассматривать как выборку из генеральной совокупности, то характеристики и по этой выборке соответственно ассиметрии и эксцесса, а также соответствующие им средние квадратические отклонения и определяются следующим образом:

, ;

, .

Если неравенства

и

выполняются одновременно, тогда предположение о нормальности распределения случайной компоненты принимается правильным.

Если же выполняется по крайней мере одно из неравенств

и ,

то предположение отвергается и трендовая модель объявляется неадекватной. Другие случаи дополнительно анализируются с помощью сложных критериев.

При проверке вышеупомянутого предположения кроме приведенного метода на практике используются также другие методы -- критерий Вестергарда, RS - критерий и т.д.

3. Предположение о равенстве нулю математического ожидания случайной компоненты (если распределение случайной компоненты нормально) проверяется с помощью -критерия Стьюдента.

Значение этого критерия вычисляется по формуле

,

где означает среднее значение , , … , , а -- среднее квадратическое отклонение этой последовательности.

4. Предположение о взаимной независимости уровней случайной компоненты можно проверить посредством ряда критериев. Одним из самых удобных, широко применяемых среди них является критерий Дарбина - Уотсона.

Значение этого критерия вычисляется по формуле

.

Если значение находится в интервале (2; 4), то он заменяется на по формуле и далее имеют дело со значениями .

Значения (или ), вычисленные по этим формулам, сравниваются с нижним критическим значением и верхним критическим значением статистики Дарбина - Уотсона, взятыми из таблицы.

Для адекватных моделей можно поставить вопрос об оценке их точности. При оценке точности модели рассматривается отклонение моделируемого показателя от реально вычисленного по модели значения.

В качестве статистических показателей точности вводятся следующие величины:

1) среднее квадратическое отклонение

2) средняя относительная ошибка

коэффициент сходимости

4) коэффициент детерминации

С помощью этих показателей мы имеем возможность из нескольких адекватных моделей, предлагаемых для рассматриваемого процесса, выбрать имеющую наибольшую точность.

Вопросы для повторения и контроля

1. Что вы знаете о динамических рядах и временных рядах, тренде, их компонентах?

2. Как определяется наличие тренда методом проверки разности средних уровней?

3. Как определяется наличие тренда методом Фостера - Стьюарта?

4. Как проверяются трендовые модели на адекватность?

5. Что вы знаете об оценках точности адекватных моделей?

Тема № 5