3. Предмет и задачи дисциплины «Экономико-математические методы и модели».

В настоящее время экономическая наука и практика все более глубоко овладевают достижениями прикладной математики, превращая их из инструмента научных исследований в важное средство эффективного решения сложных хозяйственных проблем.

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов, точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Для изучения различных экономических явлений используются их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие.

Модель -- это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. При построении моделей выявляются существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасываются детали, несущественные для решения поставленной проблемы.

Экономико-математическая модель -- это математическое описание экономических объектов или процессов с целью их анализа или управления ими, т.е. математическая запись экономической задачи. Математическая модель экономического объекта -- это его отображение в виде совокупности функций, уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Такое отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели.

Для классификации экономико-математических моделей используются разные основания. Модели делятся на теоретико-аналитические модели и прикладные модели, на макроэкономические модели и микроэкономические модели, на структурные модели и функциональные модели, на детерминированные модели и стохастические модели, на статические модели и динамические модели, на линейные модели и нелинейные модели, на пространственные модели и точечные модели.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Процесс моделирования включает три элемента:

субъект (исследователь);

объект исследования;

модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Первые математические модели использовались Ф.Кенэ (1758 г., экономическая таблица), А.Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX в.

Математика и экономика на самом деле кажутся науками, далекими друг от друга. Одна абстрагирована, а другая имеет прикладной характер. Что объединяет обе эти науки? Если взаимосвязь между ними начала проявляться еще в ХVII веке, то в XIX веке знаменитые исследователи, такие, как Антуан Курно, Альферд Маршалл, первыми применили математические методы к изучению рынка. Экономико-математические методы таким образом вошли в период развития.

XX век можно назвать периодом стремительного вхождения математических методов в разные науки, в частности, в экономическую науку. Если заглянуть в историю, то заметим, что именно в этом веке важнейшие результаты и на их основе их авторы стали лауретами Международной Нобелевской премии (Л.В.Канторович), а в Москве был образован знаменитый центральный экономико-математический институт.

Наряду с тем, что дала серьезное «оружие» научным изысканиям практических исследователей, математика сама тоже развивалась, появились ее новые направления. В течение последних 40 лет важное значение придавалось математическому моделированию экономических процессов и проблемам приведения на их основе точных прогнозов.

Для экономиста математические объекты и понятия могут оказаться сложными, и существуют трудности в их применении при составлении моделей. Для устранения таких неудобств целесообразно представить, что за математическими понятиями, например, такими, как точка, прямая, уравнение, функция и т.д. лежат выражения конкретных экономических процессов или объектов и зависимости между ними. Перевод на математический язык экономической задачи создает условия для исследований с применением весомых математических методов. Таким образом, математизация экономических процессов считается важным этапом при их анализе, в задачах прогнозирования.

Способы применения на практике экономико-математических моделей называются экономико-математическими методами. Экономико-математические методы (ЭММ) являются симбиозом экономических и математических наук, объединенных для изучения экономики. Это понятие было введено в науку академиком В.С.Немчиновым в 60-годах ХХ века. ЭММ образовались на стыке экономики, математики и кибернетики.

Предметом дисциплины «Экономико-математические методы и модели» является:

- изучение основ моделирования экономических процессов, происходящих в макроэкономике (народном хозяйстве) и ее отраслях;

- постановка и толкование экономического смысла задачи моделирования на примере конкретной экономической системы;

- изучение методов решения экономических задач, а также проведения вычислительных экспериментов на компьютере и анализа их результатов.

Задачами дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются:

- построение математических моделей экономических процессов и выбор метода их решения;

- углубление познаний о закономерностях экономического процесса на основе анализа математических моделей;

- изучение различных математических моделей, применяемых в макро- и микроэкономике.

Из экономико-математических методов следует особо выделить методы, применяемые в математической экономике и эконометрии.

Математическая экономика -- раздел экономической науки, занимающейся анализом свойств и решений математических моделей экономических процессов. В математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность и т.п. зависимости, конкретные формулы взаимосвязи величин). Задачей математической экономики является изучение вопроса о существовании решения модели, условиях его неотрицательности, стационарности, наличия других свойств.

Эконометрика -- наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики. Основа этих методов -- корреляционно-регрессионный анализ. Эконометрика занимается статистической оценкой и анализом экономических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных.

Процессы, встречающиеся в природе, имеют разнообразную сложность. Очевидна зависимость интересующего того или иного показателя от других показателей, составляющих рассматриваемый процесс. Количественное изучение степени зависимости и взаимосвязи показателей имеет важное значение при составлении математической модели процесса. Изучаемые показатели обычно имеют случайный характер, и исследование таких случаев осуществляется с помощью методов математической статистики. Такие методы, в основном, основаны на корреляционном и регрессионном анализе. По этой причине построение и анализ математических моделей начнем с изучения понятий корреляции и регрессии.

Вопросы для повторения и контроля

1. Что такое модель и экономическая модель?

2. Что такое экономико-математическая модель, какие ее виды вы знаете?

3. Что вы понимаете под моделированием и какие элементы оно включает в себя?

4. Что вы знаете об истории применения моделирования и что называется экономико-математическими методами?

5. Что является предметом дисциплины «Экономико-математические методы и модели»?

6. Какие задачи стоят перед дисциплиной «Экономико-математические методы и модели»?

7. В чем отличие математической экономики от эконометрики?

Тема № 2

Корреляция. Уравнения регрессии.

Метод наименьших квадратов

План :

1. Связи между показателями. Корреляция.

2. Уравнения регрессии. Метод наименьших квадратов.

3. Коэффициент корреляции, его свойства.

Одним из важнейших применений методов математической статистики является определение степени взаимосвязи показателей, имеющих случайный характер и описывающих интересующий нас экономический процесс. Имеет практическое значение формирование экономических выводов в результате анализа на основе изучения степени зависимости, распределения ее по видам.

Поставленные цели достигаются путем обработки результатов наблюдений, проведенных над рассматриваемыми показателями.

Пусть наблюдения над переменными (показателями) X и Y можно выразить через пары чисел

, (2.1)

где -- число наблюдений или опытов.

Зависимы ли X и Y? Если зависимы, то какова их зависимость? Ответ на этот вопрос можно найти, построив на координатной плоскости точки (2.1). Например:

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Из рис. 2.1 видно, что X и Y независимы, потому что по конкретному значению X нельзя точно назвать значение Y, а на рис. 2.2 заметно, что точки группируются вокруг прямой (l), а X и Y находятся в зависимости. В последнем случае X и Y называются коррелированными. Задачи типа определения направления, значимости зависимости между коррелированными переменными составляют основную цель корреляционного анализа.

Пример 2.1. Мастерской по ремонту бытовой техники требуется 1 токарь. На это место поступило два заявления. Каждому претенденту назначен 5 дневный испытательный срок, в течение которого каждый из них должен заниматься изготовлением одинаковых деталей. Результаты следующие:

Оба рабочих в течение недели изготовили по 250 деталей, средняя производительность равна 250:5=50 деталей в день.

Таким образом, . Кого предпочтет руководитель мастерской? Из таблицы видно, что 1-й рабочий работает стабильней 2-го, поэтому руководителю целесообразней принять на работу 1-го рабочего. Итак, средняя производительность труда не является показателем, обеспечивающем надежность качества работы.

Целесообразно, чтобы при больших значениях дневные производительности мало отличались от них. Как можно определить такое отклонение? Для этого составим еще одну таблицу.

Как видно из 2-го и 3-го столбцов таблицы,

,

разброс отклонений больше у 2-го претендента. Т.е., в некоторые дни он “отдыхает”, а в другие с напором наверстывает упущенное. А это, естественно, влияет на качество его работы. Из последней строки таблицы видно, что при сумма отклонений равна 0. Таким образом, сумма соответствующих отклонений от также не может быть надежной оценкой.

Теперь рассмотрим последние столбцы таблицы. Здесь приведены квадраты отклонений:

для 1-го рабочего ,

для 2-го рабочего .

46 < 282 означает более стабильную производительность труда 1-го рабочего.

Пусть требуется изучение зависимости между X и Y. Переменные X и Y по природе могут быть разными, их единицы измерения -- неодинаковыми. Приведем числовые значения результатов наблюдений над ними в следующей таблице:

На основе этих данных определим такую функцию , которая в какой-то мере «хорошо» отображала бы зависимость между X и Y.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Рис. 2.3.

Вид функции можно определить на основе теоретических, логических рассуждений или через расположение на координатной плоскости точек . Например, если расположение точек, выражающих результаты наблюдений, будет как на рис. 2.3, то с учетом погрешностей, допущенных при проведении наблюдений, округлении результатов естественно предположить, что зависимость линейна. С этой точки зрения можно приступать к поиску зависимости в виде .

Если рассуждать в общем, то функцию и в ней нужно подобрать таким образом, чтобы величины , найденные по этой формуле, мало отличались от результатов наблюдений .

Очевидно, что величины - могут иметь разные знаки. Возведя в квадрат эти разности, рассмотрим неотрицательные отклонения и введем функцию k+1 переменной

.

Эта функция дает сумму отклонений. Ясно, что чем меньше значение S, тем меньше разница между X и Y. Таким образом, задача сводится к отысканию . Эта задача та же самая задача, что и задача нахождения экстремума функции нескольких переменных.

Рассмотрим частный случай . В этом случае

.

Отсюда

и, следовательно,

(2.2)

Таким образом, мы получили систему для вычисления и . Коэффиценты этой системы вычисляются через результаты наблюдений, а и найти известными нам методами (Крамера, Гаусса, матричные и т.п.).

Пример 2.2. В результате наблюдений получены 6 пар соответствующих значений величин X и Y:

Как видно из таблицы, при возрастании значений X значения Y убывают. Поэтому зависимость между ними целесообразно искать в виде . Составим следующую таблицу:

Значит, n = 6, ,

, ,

.

Таким образом, в этом случае по формуле (2.2)

.

Отсюда

.

Например, если x = 6, то Y = 5,0 - 0,2 • 6 = 3,8.

Теперь из (2.2) выведем общую формулу для нахождения значений , :

 , (2.3)

где обозначены , , , .

Предположим определитель системы (2.3) отличным от нуля:

.

Здесь

,

.

Таким образом, по формуле Крамера

,

.

 -- называется уравнением регрессии Y на Х.

Введем следующие обозначения:

(выборочная дисперсия),

,

(выборочная дисперсия).

В этом случае называется коэффициентом регрессии, а -- коэффициентом корреляции.

Очень важен следующий логический вопрос: ввиду того, что наблюдения, использованные при вычислении коэффициента корреляции между Х и Y, имеют случайную природу, случайна ли также зависимость между Х и Y?

Проверка случайности зависимости может быть проведена с помощью корреляционной «поправки» . Если зависимость между Х и Y существенна, то .

Для вышеупомянутого примера 2.2

, ,

, , .

Тогда ,

,

,

.

Так как коэффициент корреляции - 0,92, то зависимость очень сильная.

.

Таким образом, .

Значит, зависимость между Х и Y важна.

Вопросы для повторения и контроля

1. Какие зависимости между показателями вы знаете? Что понимаете под корреляцией?

2. Каких видов зависимости между двумя показателями может быть осуществлен поиск?

3. Что вы знаете о методе наименьших квадратов?

4. Что такое коэффициент корреляции, какие его свойства вы знаете?

Тема № 3

Уравнения множественной корреляции

План :

1. Линейная корреляционная связь между тремя показателями

2. Совокупный коэффициент корреляции, его свойства

3. Частный коэффициент корреляции

На практике интересующий нас показатель может статистически зависить от ряда других показателей. Например, количество расхода топлива автомобиля зависит от состояния дороги, мастерства водителя, скорости и т.п..

Предположим, что рассматриваются три показателя Х, Y и Z, и показатель Z статистически зависит от Х и Y. Над этими показателями проведено m наблюдений, их результаты рассмотрим в следующей таблице.

Простейшей статистической зависимостью величин X, Y, Z является линейная корреляционная связь между ними. Например, зависимость между Х, Y и Z может быть записана в виде

. (3.1)

Здесь , и - некоторые постоянные.

Основная задача множественной корреляционной связи состоит в установлении соотношения вида (3.1) методом наименьших квадратов.

Подставив результаты наблюдений и в равенство (3.1), найдем , отличные от . Отклонения - показывают разницу между наблюденными и вычисленными по формуле (3.1) значениями. Тогда сумма квадратов отклонений (с учетом их частот) имеет вид

.

можно рассматривать в качестве функции трех переменных. Суть метода наименьших квадратов состоит в нахождении значений параметров , , , минимизирующих S. Искомые значения , и находятся из системы

, _.

Перепишем эту систему в более компактном виде:

, (3.2)

где

, , ,

, , ,

.

Теперь, для приведения системы (3.2) в более удобный вид из ее первого уравнения найдем

(3.3)

и подставив это в (3.1), получим соотношение

.

Отсюда для нахождения точного выражения Z достаточно определить , . С этой целью подставив (3.3) в (3.2), и проведя необходимые преобразования, получим систему

. (3.4)

Но систему (3.4), используя следующий вид дисперсии

,

можно представить в виде

. (3.5)

Система (3.5) определяет значения и . Для решения этой системы введем коэффициенты корреляции между X, Y и Z:

, , .

Введенные величины и (3.5) вместе образуют следующие системы:

,

.

Помимо установления зависимости Z от X и Y, важно оценить его влияние по отдельности на X и Y. Влияние Z на отдельно взятые показатели изучается через частный коэффициент корреляции. Частный коэффициент корреляции Z и X находится из следующего равенства:

.

Здесь Y считается постоянным, и рассматривается только влияние Z на Х. Аналогично, можно рассмотреть и . Введенные величины меняются в промежутке от -1 до 1. Случаи или рассматриваются таким же образом, как и при традиционном коэффициенте корреляции.

Вопросы для повторения и контроля

1. Как выводится уравнение линейной корреляционной связи между тремя показателями

2. Что вы знаете о частном коэффициенте корреляции?

Тема № 4