4.2 АЛГОРИТМЫ СТЭК НА ОСНОВЕ ПАРЕТО-НЭШ-УКУ-ШЕПЛИ-КОМБИНАЦИЙ

В данном разделе рассматриваются схемы формирования компромиссов, их систематизация на основе принципа необязательных соглашений и в условиях, в основном, объективной информации о ММС.

Технология формирования компромиссов базируется на интерактивных процессах, комбинирующих указанные модули оптимизаций с разной степенью автоматизации интерактивных процедур.

Выбор наиболее эффективного решения по Нэшу (СТЭК-1). Потребность в данном СТЭК возникает, когда скалярное равнооесие по Нэшу при фиксированной структуре ММС является неединственным. Практически речь идет о выборе недоминируемых решений по Нэшу.

Определение: Нэш-решение игры Г(Р)

,

где Ki P = МK, i = 1,...,l; uU

доминирует решение , если JKi() JKi(), i = 1,…,l.

В рамках СТЭК-1 предполагается, что недоминируемое решение - единственное, тогда оно наиболее эффективно для всего коалиционного разбиения ММС, поэтому принимается игроками как необязательное соглашение.

Условие доминирования решения над относительно конуса с матрицей В имеет простой вид

BJ 0, (4.1)

где J = -, = J(), = J().

Знак неравенства меняется, если эффективность заключается в минимизации потерь.

При В = Е многогранный конус становится прямоугольным, а процедура оптимизации на основе конуса сводится к Парето-оптимизации.

Выбор компромиссного недоминируемого Нэш-решения по критерию уравновешивания потерь в окрестности наилучшего для каждой коалиции Нэш-решения (СТЭК-2). Предыдущий СТЭК-1 может иметь неединственное недоминируемое решение uri, i = 1,2,...,n. Тогда сужение полученного множества может быть достигнуто дополнительными компромиссными условиями близости к наилучшему (идеальному) для каждой коалиции значению показателя и/или уравновешиванию потерь в связи с его недостижимостью, где

. (4.2)

По данным двум условиям может быть введён дополнительный критерий оптимизации на конечном множестве недоминируемых Нэш-решений

, (4.3)

где j, = 1,...,l; j .

В (4.3) первая сумма обеспечивает уравновешивание потерь, вторая - близость к идеальной, на основе Нэш-решений, точке, а множитель (1 0) определяет влияние степени близости на компромисс.

Выбор векторного Нэш-решения относительно идеальной (утопической) для множества допустимых решений точки (СТЭК-3).

Коалиционное равновесие при фиксированном разбиении МK = P ММС вырождается в векторное равновесие.

Увеличение размерности задачи и расширение множества равновесных решений на множестве допустимых решений приводит к необходимости искать компромиссное решение среди недоминируемых векторных равновесий (uri), наиболее близкое к идеальной точке над множеством допустимых решений по критерию:

(4.4)

где , (4.5)

где UK - множество параметризованных управлений (решений) коалиции K, = 1,...,l. Полученное на основе (4.2), (4.3) решение является наилучшим векторно-равновесным решением для всех коалиций, а поэтому является компромиссным в условиях необязательных соглашений.

Формирование Парето-Нэш-области компромиссов (ПНОК) (СТЭК-4). Предыдущие СТЭК-1 - СТЭК-3 позволяли получить лучшие решения в рамках одного и того же множества стабильных решений. Данная ПНОК является базой для формирования новых компромиссов, с другой стороны, при определенной близости компромиссного значения показателей на основе предыдущих СТЭК к Парето-границе области показателей выделяется малая ОК, каждая точка которой с определённой степенью грубости играет роль собственно СТЭК-4, а в пределе превращается в ПСТЭК.

Определение. ПНОК удовлетворяет системе неравенств:

(4.6)

где первое неравенство системы (4.6) имеет смысл многогранного конуса доминирования с матрицей В = Е и вершиной в точке J(uСТЭК-i), а второе имеет смысл семейства лучей, соединяющих точку СТЭК и соответствующее лучу решение uП из подмножества UП Парето-оптимальных решений, также удовлетворяющих первому неравенству. Рисунок 4 иллюстрирует данное определение для двухобъектной ММС со скалярными показателями объектов.

Взаимосвязь ПНОК и области УКУ-решений (СТЭК-5). Скалярное и векторное равновесие при фиксированной коалиционной структуре являются частными случаями коалиционного равновесия, так как каждая коалиция стремится обеспечить свою локальную Парето-оптимальность в рамках всей локальной области, ее подобласти или точки соответственно, а равновесное решение по определению является V-решением (не содержит эффективных угроз, против которых нет контругроз).

Взаимосвязь ПНОК и множества дележей (СТЭК-6). В условиях необязательных соглашений делёж по Шепли обосновывает выбор такого коалиционного равновесия, которое является наиболее подходящим для возможного объединения в кооперацию при переходе к строго договорным компромиссам с обязательным выполнением соглашения.

Выбор наиболее эффективного УКУ-решения на основе ПНОК и точки дележа Шепли (СТЭК-7). Рассмотренный СТЭК-6 является частным случаем более общего СТЭК, когда множество УКУ-равновесий имеет общий характер положения в ПНОК, например так, как показано для N = 2 на рис.4.

Тогда СТЭК-5 и СТЭК-6 обобщаются в виде СТЭК-7, который имеет наиболее общий вид в условиях необязательных соглашений и содержит предыдущие СТЭК-1 - СТЭК-6 как частные случаи или компоненты.

Определение. Общий стабильно-эффективный компромисс в условиях необязательных соглашений формируется как устойчивое решение с предостережением, обладающее максимальной степенью близости к оценке наилучшего результата, который может быть достигнут при кооперативном объединении на основе обязательных соглашений. Таким свойством обладает УКУ-равновесие на ПНОК, которое является наиболее близким к точке дележа по Шепли или к ее максимальной реализуемой предпосылке. [6]