2.1 Построение регрессионной модели

Среди факторов спроса на природный газ в Российской Федерации определяющими являются темпы роста экономики страны и его цена. В таблице 1 представлены исходные данные для эконометрического моделирования спроса на внутреннее потребление газа.

Таблица 1. Динамика внутреннего потребления газа, цены газа и ВВП

за 19962010гг. по Российской Федерации

Источник: составлено автором по данным Росстата [www.gks.ru]

Введем обозначения:

Y объем потребления природного газа на внутреннем рынке, млрд. куб. м.;

X₁ ВВП, млрд. руб.;

X₂ средняя цена газа, руб. за тыс. куб. м.

Одним из основных условий построения уравнения множественной регрессии является независимость факторов X_i. Высокая взаимная коррелированность (взаимозависимость) объясняющих переменных называется мультиколлинеарностью. Она может проявляться в функциональной (явной) форме и стохастической (скрытой) формах [Эконометрика, 2011, с. 70].

При функциональной форме мультиколлинеарности, по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью.

Однако в экономических исследованиях мультиколлинеарность чаще проявляется в стохастической форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Точных количественных критериев для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Тем не менее, имеются некоторые эвристические подходы по ее выявлению.

Один из таких подходов заключается в анализе корреляционной матрицы между объясняющими переменными и выявлении пар переменных, имеющих высокие коэффициенты корреляции (обычно больше 0,8). Если такие переменные существуют, то говорят о мультиколлинеарности между ними [Эконометрика, 2002, с. 108].

Для устранения мультиколлинеарности одну из переменных исключают из рассмотрения. При этом какую переменную оставить, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, то удаляют ту переменную, которая имеет меньший коэффициент корреляции с зависимой переменной [Эконометрика, 2011, с. 71].

Построим корреляционную матрицу с помощью инструмента «Корреляция» статистического пакета анализа Microsoft Excel (см. таблицу 2).

Таблица 2. Корреляционная матрица

Источник: инструмент «Корреляция» статистического пакета анализа MicrosoftExcel

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что объем потребления природного газа имеет тесную прямую связь с объемом ВВП (), а со средней ценой умеренную прямую связь ().

Мультиколлинеарность между включенными в модель факторами отсутствует

(). Таким образом, между средней ценой на природный газ и ВВП существует прямая умеренная связь.

Построим двухфакторную линейную регрессионную модель внутреннего спроса на природный газ:

, (1)

где , и параметры регрессии.

Оценки параметров уравнения регрессии (,и соответственно) определим с помощью метода наименьших квадратов с помощью инструмента «Регрессия»статистического пакета анализа Microsoft Excel (см. таблицу 2).

Таблица 2. Уравнение регрессии

Источник: инструмент «Регрессия» статистического пакета анализа MicrosoftExcel

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторных признаков Х_i.

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем теснее связь результативного признака с исследуемыми факторами. Величина коэффициента детерминации служит важным критерием оценки качества модели. Чем значительнее доля объясненной вариации. Тем меньше роль прочих факторов, и значит, модель регрессии хорошо аппроксимирует данные и такой регрессионной моделью можно воспользоваться для прогноза значении результативного показателя [Эконометрика, 2002, с. 50].

В построенной модели коэффициент детерминации , а коэффициент множественной корреляции равен 0,9256. Это свидетельствует о почти функциональной зависимости между признаками. То есть вариация спроса на природный газ на 85% зависит от объема темпов роста экономики и цены на природный газ, и на 15% от влияния прочих факторов.

С помощью критерии Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам [Эконометрика, 2011, с. 90]. Для этого выполняется сравнение полученного значения F и табличного F значения.

F_{фактический} определяется по формуле [Эконометрика, 2003, с. 1]:

; (2)

где n-- число наблюдений; m-- число параметров.

Таким образом, подставляя в эту формулу значение коэффициента детерминации, получаем:

F_{табличный} -- это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости б.

Уровень значимости б-- вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило, принимается равной 0,05.

Если F_{табличное}>F_{фактический}, то признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом.

1. Определяют k₁, которое равно количеству факторов: k₁=2.

2. Определяют k₂, которое определяется по формуле n-m-1, где n -- число наблюдений, m -- количество факторов: k₂ = 15 - 2 - 1 = 12.

3. На пересечении столбца k₁и строки k₂находят значение критерия Фишера: F_{табличный} = 3,88 (Приложение 1).

Фактическое значение F критерия Фишера 35,89 получилось больше F_{табличного}, это говорит о том, что построенная регрессионная модель статистически значима при уровне значимости 0,05.

Оценим значимость коэффициентов регрессии, и с использованием t-критерия Стьюдента. Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии, и представлены в выводе итогов, полученного с помощью инструмента «Регрессия» (см. таблицу 2). Табличное значение t-критерия Стьюдента рассчитаем в Microsoft Excel с помощью встроенной функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.

Табличное значение t-критерия при 5%-ом уровне значимости и степенях свободы 12 (n-m-1) составляет 2,17. Так как для t_{расчетное}>t_{табличного}, а для t_{расчетное}<t _{табличного}, то это свидетельствует о том, что коэффициентстатистически значим, а коэффициент не значим.

Природный газ является самым экологически безвредным ископаемым энергоносителем, так как при его сгорании выделяется значительно меньше углекислого газа, чем при сгорании угля или нефти. Особенно эффективно и с наименьшим выделением вредных выбросов природный газ можно использовать для выработки электроэнергии и тепла для отопления. Кроме того, газ используют в качестве моторного топлива. В настоящее время быт и экономику нельзя представить без природного газа и электроэнергии. Россия является главным поставщиком газа на мировой рынок, поскольку в нашей стране сосредоточены огромные запасы углеводородов. Поэтому изменение цены на природный газ на внутреннем рынке, не окажет значительного влияния на спрос, то есть можно сделать вывод, что спрос на природный газ является абсолютно неэластичным.

Так как фактор цены оказался статистически не значим и имеющим тесную связь с фактором Х₁, то дальнейший анализ будем проводить для регрессии только с одним фактором ВВП (см. таблицу 3).

Из таблицы 3 видно, что коэффициент детерминации R²= 0,8554, коэффициент множественной корреляции равен 0,9249. Вариация спроса на природный газ на 85,54% зависит от объема ВВП и на 14,36% от других факторов.

Оценим значимость модели с помощью критерия Фишера, используя формулу (2):

.

F_{табличный}= 4,67 (Приложение 1).

Получили, что F_{фактический}>F_{табличного}, это говорит о том, что построенная модель статистически значима при уровне значимости 0,05.

Оценим значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия приведены в выводе итогов, полученного с помощью инструмента «Регрессия» (см. таблицу 3).

Табличные значения найдем в Microsoft Excel с помощью функции СТЬЮДЕНТ.ОБР при 5% уровне значимости и степени свободы 13 (n-m-1).Табличное значение t-критерия Стьюдента получили равным 2,16. Так как t_{расчетный}>t_{табличного}, значит коэффициент статистически значим.

Таблица 3 . Уравнение регрессии

Источник: инструмент «Регрессия» статистического пакета анализа MicrosoftExcel

Следовательно, уравнение регрессии спроса на природный газ на внутреннем рынке имеет вид:

Качество модели в целом определяет средняя ошибка аппроксимации. Допустимая ошибка аппроксимации не должна превышать 8 10% [Эконометрика, 2009, с. 10].

Таблица4. Расчетная таблица для вычисления средней ошибки аппроксимации

Источник: рассчитано автором.

Среднюю ошибку аппроксимации вычислим по формуле, используя промежуточные вычисления, представленные в таблице 4:

; (3)

Значение средней ошибки аппроксимации показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения спроса на природный газ на внутреннем рынке отличаются от фактических значений в среднем на 2,36%. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает 8 - 10%.

При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей [Эконометрика, 2006, с. 182 - 183]. После того, как проведена оценка параметров модели, рассчитав разности фактических и теоретических значений результативного признака Y, можно определить оценки случайной составляющей: .

Таблица 5. Вывод остатков.

Источник: Рассчитано автором

Исследование остатков е_t предполагает проверку наличия следующих пяти предпосылок метода наименьших квадратов:

случайный характер остатков;

нулевое математическое ожидание остатков;

гомоскедастичность дисперсия каждого отклонения е_tодинакова для всех значений Х_t;

отсутствие автокорреляции остатков значения е_tраспределены независимо друг от друга;

остатки подчинены нормальному распределению [Эконометрика, 2006, с. 184 - 185].

Проверим случайный характер остатков с помощью теста количества серий. Так как модель строилась на основе динамических данных, то исходной точкой будем считать упорядоченную по времени последовательность остатков. Для упорядоченной последовательности подсчитывается количество серий S, остатков модели.

Серией называется каждый фрагмент последовательности, составленный исключительно из положительных или отрицательных элементов.

Из таблиц количества серий (см. приложение 4; 5) для фактических количеств отрицательных n₁ и положительных n₂ остатков, а так же для принятого уровня значимости считываются два критических значения серий: и.Если , то распределение случайных отклонений случайно, аналитическая форма модели подобрана удачно. В то же время, если или , распределение случайных отклонений не случайно, аналитическая форма модели выбрана неудачно [Новак, 2004, с. 100 - 101].

Остатки образуют S= 6 серий (cм. таблицу 5), n₁=6, n₂=9, уровень значимости 0,05. В таблицах теста серий находим критические значения ; Получили, что , аналитическая форма модели выбрана удачно.

Несмещенность является желательным свойством и означает, что математическое ожидание значений ошибок равно нулю. В качестве критерия рассмотрим статистику:

; (4)

где -- среднее арифметическое остатков;

-- стандартное отклонение остатков, рассчитываемое по формуле:

; (5)

Из таблицы t-теста Стьюдента (Приложение номер 6) для m=n1 степеней свободы и для принятого уровня значимости 0,05 выбирается критическое значение.

Если , то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются несмещенными. Если же , то математическое ожидание случайных отклонений существенно отличается от нуля, поэтому отклонения признаются смещенными [Новак, 2004, с. 108 - 109].

Так как у нас исследуется линейная модель, построенная по методу наименьших квадратов, то , значит I тоже будет равен 0. Критическое значение = 2,145 (m=14). Получаем, что , значит, отклонение признается несмещенным.

Чтобы определить наличие или отсутствие гомоскедастичности, воспользуемся тестом ГолдфелдаКвандта [Эконометрика, 2011, с. 66].

1. Первоначально необходимо проранжировать n наблюдений в порядке возрастания переменной Х_t;

2. Затем выбирают m первых и m последних наблюдений, исключая из рассмотрения наблюдений (для случая одного фактора рекомендовано при n=30 принимать С=8, а при n= 60 соответственно С= 16);

3. Для разделенной совокупности (nC) наблюдений на две группы определяются для каждой из групп уравнения регрессии;

4. Определяется сумма квадратов фактических ошибок для первой и второй групп и находится их отношение:

(6)

Гипотеза о равенстве двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью критерия ФишераСнедекора с [(n - C - 2p) : 2] степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов (р число оцениваемых параметров).

Гипотеза о наличии гетероскедастичности принимается, если:

. (7)

Сначала необходимо определить число исключаемых центральных наблюдений С. Пусть С = 3. Тогда в каждой группе будет по 6 наблюдений [(15 - 3) : 2].

Результаты расчетов представлены в таблице 6.

Таблица 6. Проверка регрессии спроса на природный газ на внутреннем рынке на гетероскедастичность

Источник: параметры уравнений регрессии определены с помощью инструмента «Регрессия»статистического пакета анализа MicrosoftExcel

Исходя из данных таблицы 6, получаем

Табличное значение F-критерия при 5%-ом уровне значимости равно 5,05 для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов (Приложение 1).

Таким образом, расчетное значение F= 2,07 меньше табличного: гипотеза о наличии гетероскедастичности отвергается.

Наличие гетероскедастичности в остатках регрессии можно проверить и с помощью рангового коэффициента Спирмэна [Эконометрика, 2006, с. 196 - 197]. Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированы со значениями фактора Х_t. Эту корреляцию можно измерять с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмэна:

(8)

где d абсолютная разность между рангами значений Х_t и .

Промежуточные вычисления для расчета рангового коэффициента корреляции Спирмэна представлены в таблице 7.

Таблица 7. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна для регрессии спроса на природный газ на внутреннем рынке

Источник: рассчитано автором.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна составит:

.

Статистическую значимость этого коэффициента можно оценить с помощью t-критерия [Эконометрика, 2006, с. 197]:

(9)

Следовательно,

Сравним эту величину с табличной величиной при = 0,05 и числе степеней свободы (n - 2) = 15 - 2 = 13; 2,16 (Приложение 6).

Принято считать, что если , то корреляция между значениями остатков и фактора статистически значима, то есть имеет место гетероскедастичность остатков.

Таким образом, принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

Проверим модель на наличие автокорреляции при помощи критерия ДарбинаУотсона, в таблице 8 представлены промежуточные вычисления статистики DW.

Критерий ДарбинаУотсона определяется как отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков [Эконометрика, 2006, с. 344]:

(10)

Таблица 8.Расчетная таблица для вычисления критерия ДарбинаУотсона

Источник: рассчитано автором.

Подставим в формулу (10) значения, рассчитанные в таблице 7:

.

Определим по таблице критические значения критерия ДарбинаУотсона d_L=1,08 и d_U=1,36, для заданного числа наблюдений (n=15) и числа независимых переменных модели(k=1) при уровне значимости 0,05 (Приложение 2). По этим значениям промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков:

-- [0;d_L] есть положительная автокорреляция,

-- [d_L;d_U] зона неопределенности,

-- [d_U; 4d_U] автокорреляция отсутствует,

-- [4d_U; 4d_L] зона неопределенности,

-- [4d_L; 4] автокорреляция отсутствует [Эконометрика, 2006, с. 344].

Таким образом, 1,08<1,27<1,36 -- статистика DW попадает в интервал зоны неопределенности. Однозначного вывода об отсутствии или наличии автокорреляции сделать нельзя.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка (см. таблицу 9):

(11)

Таблица 9. Расчетная таблица для вычисления коэффициента автокорреляции первого порядка

Источник: Рассчитано автором

Таким образом,

По таблице r_{табличный}равен 0,4836 (Приложение 3). Так как<r_{табличного}, следовательно, автокорреляция отсутствует.

Исследуем остатки на наличие нормальности распределения с помощью теста ШапироВилька [Новак, 2004, с. 105]:

1.Остатки упорядочиваются по возрастанию.

2.Рассчитывается значение статистики:

(12)

где -- целая часть числа

a_n-t+1--коэффициенты ШапироВилька (Приложение 4).

3.Из таблиц теста ШапироВилька для принятого уровня значимости выбирается критическое значение W^*.

4.Если , то можно говорить о нормальном распределении случайных отклонений. Если же , то распределение отклонений нельзя считать нормальным.

Таблица 10. Расчетная таблица для вычисления статистики W

Источник: Рассчитано автором.

Так как =0,

то:

Из таблицы (Приложение 5) для n= 15 и уровня значимости 0,05 выбираем критическое значение W^*= 0,881. Поскольку W>W^*, можно сказать о нормальном распределении случайных отклонений.

Все предпосылки метода наименьших квадратов выполнены, что свидетельствует о приемлемом качестве полученных оценок параметров эконометрической модели.

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент, и рассчитывается по формуле:

(13)

Таблица 11. Расчетная таблица для вычисления эластичности

Источник: рассчитано автором

Таким образом, , коэффициент эластичности по ВВП равен 0,09%. Следовательно, при росте ВВП России на 1% спрос на газ повышается на 0,09% при прочих постоянных факторах.

В результате построения модели мы построили линейную зависимость спроса на природный газ от объема ВВП на внутреннем рынке. Также мы выяснили, что цена на природный газ не оказывает влияния на спрос.