Моделювання оптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування

курсовая работа

3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задача динамічного програмування

Інвестор виділяє кошти в розмірі умовних одиниць, котрі повинні бути розподілені між -підприємствами. Кожне і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів приносить прибуток умовних одиниць, . Необхідно вибрати оптимальний розподіл інвестицій між підприємствами, котрий забезпечить максимальний прибуток.

Виграшем у даній задачі є прибуток, принесена підприємствами.

Побудова математичної моделі.

- Визначення числа кроків. Число кроків дорівнює числу підприємств, в котрі здійснюється інвестування.

- Визначення станів системи. Стан системи на кожному кроці характеризується кількістю коштів , наявних перед даним кроком, .

- Вибір крокових управлінь. Управлінням на і-му кроці , є кількість коштів, котрі інвестуються і-те підприємство.

- Функція виграшу на і-му кроці:

. (3.1)

- це прибуток, котрий приносить і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів .

. (3.2)

Отже, дана задача може бути вирішена методом динамічного програмування.

- Визначення функції переходу в новий стан:

. (3.3)

Таким чином, якщо на і-му кроці система знаходиться у стані , а вибрано управління , то на (і+1)-му кроці система буде знаходитись у стані . Іншими словами, якщо в наявності маються кошти в розмірі умовних одиниць, й в і-те підприємство інвестуються умовних одиниць, то для подальшого інвестування залишається умовних одиниць.

- Складанні функціонального рівняння для .

. (3.4)

А також:

. (3.5)

На останньому кроці, тобто перед інвестування коштів в останнє підприємство, умовне оптимальне управління відповідає кількості коштів, що маються в наявності; тобто скільки коштів залишилось, стільки й необхідно вкласти в останнє підприємство. Умовний оптимальний виграш дорівнює прибутку, котрий приноситься останнім підприємством.

- Складання основного функціонального рівняння.

Підставивши у формулу (2.13) вираження (3.1) і (3.3), отримуємо наступне функціональне рівняння:

. (3.6)

Пояснюючи дане рівняння зазначається, що нехай перед і-м кроком в інвестора залишились кошти у розмірі умовних одиниць. Тоді умовних одиниць він може вкласти в і-те підприємство, при цьому даний вклад принесе дохід , а умовних одиниць, що залишились - в останні підприємства з ()-го до -го. Умовний оптимальний виграш від такого вкладу . Оптимальним буде те умовне управління , при якому сума і максимальна.

Проведення автоматизації розподілу інвестицій між підприємствами здійснюється із застосуванням ЕОМ, оснащеної спеціальним програмним засобом MS EXCEL. До розгляду береться, що =5000, =3.

Таблиця 3.1 - Прибуток підприємств , від інвестування в них коштів

, тис. у.о.

, тис. у.о.

, тис. у.о.

, тис. у.о.

1

1,5

2

1,7

2

2

2,1

2,4

3

2,5

2,3

2,7

4

3

3,5

3,2

5

3,6

4

3,5

Для , .

Вхідні умови зображені на рисунку А.1 (Додаток А). Для простоти у задачі зроблено припущення, що вкладаються тільки тисячі умовних одиниць. Проводиться умовна оптимізація. По її результатам заповнюється таблиця 3.2.

Таблиця 3.2 - Результати умовної оптимізації

s

1

1

1,7

0

2

2

2

2,4

1

3,7

3

3

2,7

1

4,4

4

4

3,2

1

4,7

5

5

3,5

1/4

5,2

2

6,4

У першій колонці таблиці записуються можливі стани системи , у верхньому рядку - номера кроків . На кожному кроці визначаються умовні оптимальні управління і умовні оптимальні виграші , ; .

Детальний розгляд результатів умовної оптимізації.

а) Проведення умовної оптимізації для останнього кроку . Функціональне рівняння на останньому кроці має вигляд:

, . (3.7)

На рисунку 3.1 ілюстраційно зображено результати проведення умовної оптимізації для останнього кроку.

Виходячи з цього, два стовпця таблиці 3.2, котрі відповідають , заповнюються автоматично по таблиці вихідних даних.

Рисунок 3.1 - Результати умовної оптимізації для останнього кроку

б) Умовна оптимізація для .

Функціональне рівняння має вигляд:

. (3.8)

Для проведення умовної оптимізації заповнюються допоміжні таблиці 3.3-3.7, котрі відповідають різним значенням , тобто різним закінченням попереднього кроку, результати практичного дослідження відображені на рисунках А.2-А.4 (Додаток А).

Таблиця 3.3 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку

0

1

0

1,7

1,7

1

0

2

0

2

, звідси:

- ;

- .

Таблиця 3.4 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку

0

2

0

2,4

2,4

1

1

2

1,7

3,7

2

0

2,1

0

2,1

, звідси:

- ;

- .

Таблиця 3.5 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку

0

3

0

2,7

2,7

1

2

2

2,4

4,4

2

1

2,1

1,7

3,8

3

0

2,3

0

2,3

, звідси:

- ;

- .

Таблиця 3.6 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку

0

4

0

3,2

3,2

1

3

2

2,7

4,7

2

2

2,1

2,4

4,5

3

1

2,3

1,7

4

4

0

3,5

0

3,5

, звідси: ; - .

Таблиця 3.7 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку

0

5

0

3,5

3,5

1

4

2

3,2

5,2

2

3

2,1

2,7

4,8

3

2

2,3

2,4

4,7

4

1

3,5

1,7

5,2

5

0

4

0

4

.

Для , можливі два умовних оптимальних рівняння:

- ;

- .

Рисунок 3.2 - Результати умовної оптимізації для другого підприємства

в) Умовна оптимізація для .

Перед першим кроком стан системи відомий. тисяч умовних одиниць, й умовну оптимізацію слід проводити тільки для цього значення.

Таблиця 3.8 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць перед першим кроком

0

5

0

5,2

5,2

1

4

1,5

4,7

6,2

2

3

2

4,4

6,4

3

2

2,5

3,7

6,2

4

1

3

2

5

5

0

3,6

0

3,6

, звідси:

- ;

- .

Вираз (3.9) відображає оптимальний прибуток, що дають три підприємства при інвестуванні в них коштів у розмірі 5 тисяч умовних одиниць, дорівнює 6,4 тисяч умовних одиниць.

. (3.9)

Рисунок 3.3 - Результати умовної оптимізації для першого підприємства

Проведення безумовної оптимізації. Її результати ілюстраційно відображено на рисунку Б.1 додатку Б.

- , , ; .

- по формулі (3.3) . ; .

- , . ; .

Отриманий результат - .

Таблиця 3.9 - Результати проведення безумовної оптимізації

Таким чином, для отримання максимального прибутку у розмірі 6400 умовних одиниць, необхідно по 2000 умовні одиниці вкласти в перше і третє підприємства і 1000 умовну одиницю - у друге підприємство. Графічно це відображено на графіку В.1 у додатку В.

Делись добром ;)