Моделювання оптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування
3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задача динамічного програмування
Інвестор виділяє кошти в розмірі умовних одиниць, котрі повинні бути розподілені між -підприємствами. Кожне і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів приносить прибуток умовних одиниць, . Необхідно вибрати оптимальний розподіл інвестицій між підприємствами, котрий забезпечить максимальний прибуток.
Виграшем у даній задачі є прибуток, принесена підприємствами.
Побудова математичної моделі.
- Визначення числа кроків. Число кроків дорівнює числу підприємств, в котрі здійснюється інвестування.
- Визначення станів системи. Стан системи на кожному кроці характеризується кількістю коштів , наявних перед даним кроком, .
- Вибір крокових управлінь. Управлінням на і-му кроці , є кількість коштів, котрі інвестуються і-те підприємство.
- Функція виграшу на і-му кроці:
. (3.1)
- це прибуток, котрий приносить і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів .
. (3.2)
Отже, дана задача може бути вирішена методом динамічного програмування.
- Визначення функції переходу в новий стан:
. (3.3)
Таким чином, якщо на і-му кроці система знаходиться у стані , а вибрано управління , то на (і+1)-му кроці система буде знаходитись у стані . Іншими словами, якщо в наявності маються кошти в розмірі умовних одиниць, й в і-те підприємство інвестуються умовних одиниць, то для подальшого інвестування залишається умовних одиниць.
- Складанні функціонального рівняння для .
. (3.4)
А також:
. (3.5)
На останньому кроці, тобто перед інвестування коштів в останнє підприємство, умовне оптимальне управління відповідає кількості коштів, що маються в наявності; тобто скільки коштів залишилось, стільки й необхідно вкласти в останнє підприємство. Умовний оптимальний виграш дорівнює прибутку, котрий приноситься останнім підприємством.
- Складання основного функціонального рівняння.
Підставивши у формулу (2.13) вираження (3.1) і (3.3), отримуємо наступне функціональне рівняння:
. (3.6)
Пояснюючи дане рівняння зазначається, що нехай перед і-м кроком в інвестора залишились кошти у розмірі умовних одиниць. Тоді умовних одиниць він може вкласти в і-те підприємство, при цьому даний вклад принесе дохід , а умовних одиниць, що залишились - в останні підприємства з ()-го до -го. Умовний оптимальний виграш від такого вкладу . Оптимальним буде те умовне управління , при якому сума і максимальна.
Проведення автоматизації розподілу інвестицій між підприємствами здійснюється із застосуванням ЕОМ, оснащеної спеціальним програмним засобом MS EXCEL. До розгляду береться, що =5000, =3.
Таблиця 3.1 - Прибуток підприємств , від інвестування в них коштів
, тис. у.о. |
, тис. у.о. |
, тис. у.о. |
, тис. у.о. |
|
1 |
1,5 |
2 |
1,7 |
|
2 |
2 |
2,1 |
2,4 |
|
3 |
2,5 |
2,3 |
2,7 |
|
4 |
3 |
3,5 |
3,2 |
|
5 |
3,6 |
4 |
3,5 |
Для , .
Вхідні умови зображені на рисунку А.1 (Додаток А). Для простоти у задачі зроблено припущення, що вкладаються тільки тисячі умовних одиниць. Проводиться умовна оптимізація. По її результатам заповнюється таблиця 3.2.
Таблиця 3.2 - Результати умовної оптимізації
s |
|||||||
1 |
1 |
1,7 |
0 |
2 |
|||
2 |
2 |
2,4 |
1 |
3,7 |
|||
3 |
3 |
2,7 |
1 |
4,4 |
|||
4 |
4 |
3,2 |
1 |
4,7 |
|||
5 |
5 |
3,5 |
1/4 |
5,2 |
2 |
6,4 |
У першій колонці таблиці записуються можливі стани системи , у верхньому рядку - номера кроків . На кожному кроці визначаються умовні оптимальні управління і умовні оптимальні виграші , ; .
Детальний розгляд результатів умовної оптимізації.
а) Проведення умовної оптимізації для останнього кроку . Функціональне рівняння на останньому кроці має вигляд:
, . (3.7)
На рисунку 3.1 ілюстраційно зображено результати проведення умовної оптимізації для останнього кроку.
Виходячи з цього, два стовпця таблиці 3.2, котрі відповідають , заповнюються автоматично по таблиці вихідних даних.
Рисунок 3.1 - Результати умовної оптимізації для останнього кроку
б) Умовна оптимізація для .
Функціональне рівняння має вигляд:
. (3.8)
Для проведення умовної оптимізації заповнюються допоміжні таблиці 3.3-3.7, котрі відповідають різним значенням , тобто різним закінченням попереднього кроку, результати практичного дослідження відображені на рисунках А.2-А.4 (Додаток А).
Таблиця 3.3 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку
0 |
1 |
0 |
1,7 |
1,7 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
, звідси:
- ;
- .
Таблиця 3.4 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку
0 |
2 |
0 |
2,4 |
2,4 |
|
1 |
1 |
2 |
1,7 |
3,7 |
|
2 |
0 |
2,1 |
0 |
2,1 |
, звідси:
- ;
- .
Таблиця 3.5 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку
0 |
3 |
0 |
2,7 |
2,7 |
|
1 |
2 |
2 |
2,4 |
4,4 |
|
2 |
1 |
2,1 |
1,7 |
3,8 |
|
3 |
0 |
2,3 |
0 |
2,3 |
, звідси:
- ;
- .
Таблиця 3.6 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку
0 |
4 |
0 |
3,2 |
3,2 |
|
1 |
3 |
2 |
2,7 |
4,7 |
|
2 |
2 |
2,1 |
2,4 |
4,5 |
|
3 |
1 |
2,3 |
1,7 |
4 |
|
4 |
0 |
3,5 |
0 |
3,5 |
, звідси: ; - .
Таблиця 3.7 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць після закінченням попереднього кроку
0 |
5 |
0 |
3,5 |
3,5 |
|
1 |
4 |
2 |
3,2 |
5,2 |
|
2 |
3 |
2,1 |
2,7 |
4,8 |
|
3 |
2 |
2,3 |
2,4 |
4,7 |
|
4 |
1 |
3,5 |
1,7 |
5,2 |
|
5 |
0 |
4 |
0 |
4 |
.
Для , можливі два умовних оптимальних рівняння:
- ;
- .
Рисунок 3.2 - Результати умовної оптимізації для другого підприємства
в) Умовна оптимізація для .
Перед першим кроком стан системи відомий. тисяч умовних одиниць, й умовну оптимізацію слід проводити тільки для цього значення.
Таблиця 3.8 - Наявність коштів у розмірі умовних одиниць перед першим кроком
0 |
5 |
0 |
5,2 |
5,2 |
|
1 |
4 |
1,5 |
4,7 |
6,2 |
|
2 |
3 |
2 |
4,4 |
6,4 |
|
3 |
2 |
2,5 |
3,7 |
6,2 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
5 |
|
5 |
0 |
3,6 |
0 |
3,6 |
, звідси:
- ;
- .
Вираз (3.9) відображає оптимальний прибуток, що дають три підприємства при інвестуванні в них коштів у розмірі 5 тисяч умовних одиниць, дорівнює 6,4 тисяч умовних одиниць.
. (3.9)
Рисунок 3.3 - Результати умовної оптимізації для першого підприємства
Проведення безумовної оптимізації. Її результати ілюстраційно відображено на рисунку Б.1 додатку Б.
- , , ; .
- по формулі (3.3) . ; .
- , . ; .
Отриманий результат - .
Таблиця 3.9 - Результати проведення безумовної оптимізації
Таким чином, для отримання максимального прибутку у розмірі 6400 умовних одиниць, необхідно по 2000 умовні одиниці вкласти в перше і третє підприємства і 1000 умовну одиницю - у друге підприємство. Графічно це відображено на графіку В.1 у додатку В.