Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

курсовая работа

1.1 Поняття математичного моделювання

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

В основу методу покладено ідентичність форми рівнянь і однозначність співвідношень між змінними в рівняннях оригіналу і моделі, тобто, їхню аналогію. Математичні моделі досліджуються, як правило, із допомогою аналогових обчислювальних машин, цифрових обчислювальних машин,компютерів.

На початку 60-их років було розроблено один із методів математичного моделювання - квазіаналогове моделювання. Цей метод полягає в дослідженні не досліджуваного явища, а явища або процесу іншої фізичної природи, яке описується співвідношеннями, еквівалентними відносно отримуваних результатів.

Математичне моделювання тією чи іншою мірою застосовують всі природничі і суспільні науки, що використовують математичний апарат для одержання спрощеного опису реальності за допомогою математичних понять. Математичне моделювання дозволяє замінити реальний обєкт його моделлю і потім вивчати останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище абсолютно адекватно, що залишає актуальним питання про застосовність отриманих таким шляхом даних. Математичне моделювання широко застосовується у гірництві, геології, для вивчення і аналізу процесів переробки корисних копалин [13, c.16].

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів, які використовуються. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій.

Ш Лінійні або нелінійні моделі;

Ш Зосереджені або розподілені системи;

Ш Детерміновані або стохастичні;

Ш Статичні або динамічні.

Існує ще декілька підходів. Разом з тим, кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною . Природно, що можливі і змішані типи: у одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому - розподіленні моделі і так далі.

Математична модель - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія, та ін.

При одержані математичної моделі використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів,імітаційне моделювання за допомогою ЕОМ. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками

Для створення математичних моделей можна використовувати будь які математичні засоби -- мову диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень [13, c.50].

Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розвязати в замкнутому вигляді (явно) відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або частково замкненому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференційні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірності моделі, моделі математичного програмування та ін.

Якщо не можна здобути точний розвязок математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші.

У залежності від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення математичні моделі можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними звязками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис неперервного процесу (наприклад, диференційними рівняннями) являє собою неперервну математичну модель.

Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального обєкта його математичної моделі). Якщо параметри обєкта, для якого розробляють математичну модель, можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої - постійні коефіцієнти. У протилежному випадку математична модель є нестаціонарною [14, c.56].

При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.

Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. У цьому випадку математичні моделі складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесу.

Для розробки математичної моделі широко використовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі. Приклади математичних моделей:

Ш Модель Мальтуса - закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.

Ш Система хижак-жертва (Вольтера-Лотки) - показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.

Ш Модель оптимальної поведінки покупця - виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.

Ш Модель всесвіту.

Таким чином, створення кожної моделі завжди має яку-небудь мету.

Під метою розуміється кінцевий стан, при якому досліджуваний обєкт досягає певної відповідності в часі й просторі з іншим обєктом.

Серед основних цілей створення моделі можна виділити наступні:

Ш Гносеологічні (пізнавальні);

Ш Освітні;

Ш Управлінські;

Ш Експериментальні;

Ш Творчі (проектування).

Для досягнення поставлених цілей модель повинна мати деякі властивості, які одночасно є й критеріями оцінки якості побудови моделі.

Серед властивостей моделі можна виділити наступні:

Ш Ефективність;

Ш Універсальність;

Ш Стійкість;

Ш Змістовність;

Ш Адекватність;

Ш Обмеженість;

Ш Повнота;

Ш Динамічність.

Властивість ефективності показує, наскільки правильним було створення й використання моделі для досягнення поставленої мети. Під універсальністю моделі розуміється можливість її застосування в інших задачах і для досягнення інших цілей. Стійкість моделі означає її правильну роботу в зовнішніх умовах, що змінюються, і екстрених ситуаціях. Властивість змістовності визначає кількість функції моделі.

Серед функцій моделі виділяють описову, інтерпретаторську, пояснювальну, вимірювальну функції.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає обєкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях. Таким чином, модель є обмеженою. Під повнотою моделі розуміється наявність відомостей про обєкт-оригіналі, необхідних для досягнення поставленої мети. Динамічність визначає зміна моделі із часом.

Історія моделювання визначається серединою XX століття, коли була опублікована монографія Норберта Вінера «Кібернетика або керування й звязок у тварині й машині».

Найважливішим у моделюванні є поняття інформації. Під інформацією можна розуміти наступне:

«Це позначення змісту отриманого із зовнішнього миру в процесі нашого пристосування до нього. При цьому процес одержання й використання інформації є процесом нашого пристосування до випадків нашого середовища й нашої життєдіяльності в цьому середовищі».

Це сукупність, відчужена від творця й усуспільнена форма знання.

Це модель, тобто спрощене неадекватне подання знань.

Приміром, інформаційною моделлю знання можна вважати текст, закріплений на матеріальному носії. При цьому інформаційна модель дозволяє відокремити коштовну інформацію від несуттєвої, вибрати аналогії серед різних видів обєктів і вибрати як робоча гіпотеза одне з можливих рішень.

Делись добром ;)