« Модели диффузионных процессов для планарной технологии»

Отчет по данной теме должен включать в себя следующие задания:

1. Вывод обыкновенного уравнения диффузии в случаях:

а) одномерного приближения;

б) трехмерного приближения

2. Запись диффузионной модели в виде ящика;

3. Построение в EXCEL графиков Аррениуса для коэффициентов диффузии бора, фосфора, мышьяка и сурьмы в кремниевой пластине и определение коэффициента диффузии этих примесей по графику для Т=1000С.

4. Анализ диффузионной модели:

а) Проверка идентичности размерностей различных слагаемых в уравнении диффузии;

б) Анализ математического типа уравнения в диффузионной модели;

в) Описание краевых задач, имеющих аналитическое решение:

— Для точечного диффузионного источника (модель диффузии с постоянной дозой);

качественный вид решения для трех временных моментов;

— Для диффузионной загонке примеси с постоянной поверхностной концентрацией;

качественный вид решения для трех временных моментов;

— График спец. функций erf(z) и erfc(z) с описанием их математических свойств.

— Расчет дозы легирования и поверхностной концентрации для случаев:

а) распределения примеси по Гауссу;

б) распределения примеси по erfc(z);

г) Задача с неоднородным начальным условием

5. Учет влияния электрического поля на процесс диффузии примеси:

а) Гидродинамическая аналогия. Диффузионный и конвективный механизмы распространения вещества. Уравнение переноса. Качественный вид решения.

б) Запись диффузионной модели в приближении эффективного коэффициента диффузии с полным математическим обоснованием двумя способами;

в) Построение графика зависимости собственной концентрации от температуры в диапазоне от 800С до 1200С в форме Аррениуса. Построение графика зависимости коэффициента ускорения диффузии от переменной С/ni. Выводы

г)Описание диффузионной модели при совместной диффузии двух примесей. Построение качественного графика концентрационных профилей при диффузии мышьяка в однородно легированную бором подложку.

1.6 Графики распределений концентрации примеси для трех временных значений с характерной длиной L=0,1мкм; 0,5 мкм; 1 мкм. Пояснить, как при этом изменяется поверхностная концентрация.

1.7 Решение задач:

а) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной дозой в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Т=1100С; Cs=4*10¹⁷ см^-3; Xj=3мкм; Св=10^-15см^-3

б) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной поверхностной концентрацией в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Т=950С; Cs=2,5*10²⁰ см^-3; внедренная доза – из предыдущей задачи;

с) Решение задачи о загонке мышьяка

Мышьяк загоняется в кремниевую пластину с концентрацией бора Св=10¹⁵ атом/см³ из газовой фазы при Т=1200С. При этом общая доза введенной примеси на единицу площади равна 10¹⁴ атомов/см². Определите время загонки мышьяка, если глубина p-n перехода составила 1 мкм. В данной задаче принять, что параметры коэффициента диффузии для мышьяка равны – D₀=24 см²/с, а Е_А=4,08 эВ.

Дополнительная призовая задача:

— Компьютеризированный расчет в EXCEL значений функций erf(z) и erfc(z)

— Запишите функцию Грина для уравнения диффузии и поясните как с помощью функции Грина можно найти решение уравнения диффузии

1. Вывод обыкновенного уравнения диффузии в случаях:

а) одномерного приближения:

W- поток легирующей примеси;

Полный поток равен сумме двух составляющих- диффузионной и дрейфовой:

;

;

D-коэффициент диффузии: D=;

-подвижность, Z – равен 1,если примесь донорная, - 1,если акцепторная;

Тогда:

Рассмотрим процесс диффузии на участке от X до X+∆X:

;

;

;

Тогда при Х→0:

;

Первый закон Фика:

Количество вещества, проходящее через воображаемое сечение,перпендикулярное направлению диффузии, пропорционально величине градиента концентрации в этом сечении,площади сечения и времени диффузии.

Второй закон Фика связывает пространственное и временное изменения концентрации (уравнение диффузии):

Подставляем (*) во второй закон Фика и получаем:

;

б) трехмерного приближения:

Дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Рассмотрим небольшой объем материала: Тогда, чтобы получить поток примеси через выбранный объем надо взять двойноё интеграл:

;

Переходим к дивергенции:

;

;

Тогда при V→0:

;

Используя (*) и расписывая понятие дивергенции для трехмерного случая получаем:

;