Фильтрация и сглаживание.

Задача фильтрации данных заключается в устранении одной из составляющих зависимости y(x_i). Если цель фильтрации – подавление «быстрых», высокочастотных, вариаций, то зависимость сглаживается, происходит переход к новому набору значений y_i, и в обновленной зависимости y*(x_i) доминирует низкочастотная составляющая. В MathCAD это реализуется встроенными функциями medsmooth, ksmooth, supsmooth.

Реже решается обратная задача, когда в ходе фильтрации требуется устранить медленно меняющиеся, низкочастотные вариации. Такая задача называется задачей устранения тренда. Решается она «вычитанием» сглаженного варианта зависимости y*(x_i) из исходного y(x_i).

Аппроксимация.

Задача аппроксимации – построение приближенной функции, наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Задача возникает при наличии погрешностей в исходных данных или при необходимости получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется критерием аппроксимации. Наиболее распространен квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от заданных R=_i(y_i-y_i^расч)² , где

y_i - заданные табличные значения функции; y_i^расч - расчетные значения по аппроксимирующей функции; _i - весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i–й точки. Квадратичный критерий обеспечивает дифференцируемость и единственность решения задачи аппроксимации при полиноминальных аппроксимирующих функциях.

В ходе аппроксимации выделяют две основные задачи:

-получение аппроксимирующих функций, описывающей исходные данные с погрешностью не хуже заданной;

- получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наименьшей возможной погрешностью.

Основными методами аппроксимации являются метод наименьших квадратов (МНК) и метод равномерного приближения. Задача МНК сводится к поиску коэффициентов b₀ и b₁ аппроксимирующей функции из условия минимальности суммы квадратов отклонений этой функции в данных точках от табличных значений

S(b₀,b₁)=(b₀+b₁x_i-y_i)²min

При проведении ручного счета используют метод неопределенных коэффициентов, когда степень аппроксимирующего полинома выбирается на единицу меньше числа узлов интерполяции, а неизвестные коэффициенты полинома определяют, решая соответствующую систему уравнений. Процедура аппроксимации реализуется средствами регрессионного анализа данных.