Интерполяция.

Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана или не может быть рассчитана аналитически.

В ходе интерполяции исходная функция f(x), заданная таблично, заменяется другой – интерполяционной L(x), приближенной к исходной и проходящей через заданные точки – узлы интерполяции. С помощью интерполяционной функции можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке внутри данного интервала.

В связи с интерполяцией рассматриваются три главные проблемы:

- выбора интерполяционной функции L(x);

-оценки погрешности интерполяции R(x);

- размещения узлов интерполяции x₁,x₂, x₃ и т.д. для обеспечения наибольшей возможной точности восстановления исходной функции;

Основным преимуществом интерполяции является то, что она позволяет определить искомое значение функции без непосредственного прямого построения интерполяционной функции.

В качестве интерполяционной функции L(x) чаще всего выбирают степенной полином, поскольку он наиболее удобен для математической обработки и всегда может быть представлен как усеченный ряд Тейлора, в который разложили исходную дифференцируемую функцию f(x). Кроме того, важно, что полином n-ой степени, содержащий n+1 параметр и проходящий через n+1 точки – единственный, и это обеспечивает хорошую формализацию задачи.

Иногда исходная функция интерполируется тригонометрически, показательной и другими функциями и их комбинациями. «Очевидный» способ построения интерполяционной функции, когда из условия прохождения функции через все точки массива составляется система уравнений, позволяющая найти ее параметры, не всегда эффективен (особенно при большом количестве точек).

К основным методам интерполяции традиционно относят методы Лагранжа, Ньютона и метод сплайнов.

Для метода Лагранжа

L_n(x)=y₀Q₀(x)+…+y_jQ_j(x)+…y_nQ_n(n),

где i=0,n-точки исходной функции,

Q_j(x)=

Для метода Ньютона

P_1n(x)=y₀+t∆y₀+

где t= ; h= ; ∆y₀, ∆²y₀, ∆³y₀- конечные разности 1,2,3 и т.д. порядка в точке x₀.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона и рекомендуется при интерполяции вперед

P2n(x)=yn+t∆yn+1

где ∆^ky_i – конечная разность k-го порядка в точке x_i.

Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона и рекомендуется при интерполяции назад.

Сплайн – это функция, которая на каждом межузловом интервале совпадает с некоторым полиномом. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция и несколько ее производных были непрерывны в узлах интерполяции.

К основным видам интерполяции относят линейную и сплайновую. В случае проведения линейной интерполяции интерполирующая зависимость состоит из отрезков прямых, соединяющих точки-узлы интерполяции.

Поскольку в большинстве практических задач желательно соединять экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой, чаще всего применяют интерполяцию сплайнами. В MathCAD для этого используют встроенную функцию interp и lspline, pspline и cspline соответственно. В Excel для решения задач интерполяции используют возможности формирования рядов данных и Мастера диаграмм.

Двумерная интерполяция сплайнами приводит к построению поверхности z(x,y), проходящей через массив точек на плоскости xOy. Поверхность создается участками двумерных кубических сплайнов, являющихся функциями x и и имеющие непрерывные первые и вторые производные по обеим координатам. Проведение двумерной интерполяции требует предварительного упорядочения данных.