Имитационная модель СТО с использованием программы С++

курсовая работа

2.1 Виды распределений

2.1.1 Равномерное распределение

Функция плотности вероятности равномерного распределения задает одинаковую вероятность для всех значений, лежащих между минимальным и максимальным значениями переменной. Другими словами, вероятность того, что значение попадает в указанный интервал. пропорциональна длине этого интервала. Применение равномерного распределения часто вызвано полным отсутствием информации о случайной величине, кроме ее предельных значений. Равномерное распределение называют также прямоугольным.

f (t) =при а ? t ? Ь.

Среднее значение распределения равно м = , дисперсия равна у2=.

Равномерно распределенная случайная величина X на отрезке [а, b] выражается через равномерно распределенную на отрезке [0, 1] случайную величину R формулой

X = а + (b - а) *R

Рис.1 Графики функции распределения и плотности распределения:

2.1.2 Треугольное распределение

Треугольное распределение является более информативным, чем равномерное. Для этого распределения определяются три величины - минимум, максимум и мода. График функции плотности состоит из двух отрезков прямых, одна из которых возрастает при изменении X от минимального значения до моды, а другая убывает при изменении X от значения моды до максимума. Значение математического ожидания треугольного распределения равно одной трети суммы минимума, моды и максимума. Треугольное распределение используется тогда, когда известно наиболее вероятное значение на некотором интервале и предполагается кусочно-линейный характер функции плотности. Функция плотности вероятности треугольного распределения имеет вид:

м=, у2=.

Треугольно распределенная случайная X связана со случайной величиной R, распределенной равномерно на [0,1], соотношением:

Рис.2 График плотности треугольного распределения

2.1.3 Экспоненциальное (показательное) распределение

Если вероятность того, что один и только один результат наступит на интервале Дt, пропорциональна Дt и если наступление результата не зависит от наступления других результатов, величины интервалов между результатами распределены экспоненциально. Другими словами, работа, продолжительность которой экспоненциально распределена имеет одинаковую вероятность завершения в течение любого последующего периода времени Дt. Таким образом, работа, выполняемая за t единиц времени, имеет ту же вероятность окончания в последующий период Дt, что и только что начатая работа. Подобное отсутствие временной обусловленности называется марковским свойством или свойством отсутствия последействия. Существует прямая связь между предположением об экспоненциальности распределения продолжительности работы и марковским свойством. Экспоненциальное распределение предполагает значительную вариабельность переменной. Если математическое ожидание продолжительности работы равно 1/б, то дисперсия равна 1/б2. По сравнению с большинством остальных распределений экспоненциальное обладает большей дисперсией.

Функция распределения:

1- e-бt при t?0,

0 при t<0,

б >0 - параметр экспоненциального закона.

С экспоненциальным распределением легко осуществлять математические преобразования, благодаря чему оно применяется в целом ряде исследований.

Методом обратных функций можно показать, что показательно распределенная случайная величина X связана со случайной величиной R, распределенной равномерно на [0,1], соотношением:

Y=-1/б * ln(1-R),

где б - параметр показательного закона.

Рис.3 Графики функции распределения и плотности распределения

2.1.4 Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является дискретным и обычно связано с числом результатов за определенный период времени. Если продолжительность интервалов между результатами распределена экспоненциально, и в каждый момент времени может произойти только один результат, то можно доказать, что число результатов на фиксированном интервале времени распределено по закону Пуассона. Другими словами, если интервалы между прибытиями распределены экспоненциально, распределение числа прибытий будет пуассоновским.

где л>0, k?0 - параметры закона. Пуассоновское распределение используется часто как аппроксимация биномиального распределения в том случае, когда оно моделирует последовательности независимых испытаний Бернулли (результаты таких испытаний могут быть типа «да-нет», «стоять-идти», «успех-неудача» и т.п.). При больших значениях математического ожидания пуассоновское распределение аппроксимируется нормальным.

Для получения пуассоновски распределенной случайной величины Y можно воспользоваться следующим методом: установить значение величины Y равным первому значению N, такому, что

где Rn - п-е псевдослучайное число.

2.1.5 Нормальное распределение

Нормальное, или Гауссово, распределение является наиболее важным в теории вероятностей и математической статистике. Эту роль нормальное распределение приобрело в связи с центральной предельной теоремой, которая утверждает, что при весьма нестрогих условиях распределение средней величины или суммы N независимых наблюдений из любого распределения стремиться к нормальному по мере увеличения N. Таким образом, сумму случайных величин часто можно считать нормально распределенной.

Именно благодаря центральной предельной теореме нормальное распределение так часто применяется в исследованиях по теории вероятностей и математической статистике. Существует и другая причина частого применения нормального распределения. Его преимуществом является легкость математического трактования, в связи с чем многие методы доказательств в таких областях, как, например, регрессионный или вариационный анализ, основаны на предположении о нормальном характере функции плотности.

При больших значениях среднего нормальное распределение является хорошей аппроксимацией биноминального распределения.

Функция плотности вероятности нормального закона имеет вид:

- параметры нормального закона, (- среднее значение, - дисперсия нормального распределения).

Генератор нормально распределенной случайной величины X можно получить по формулам:

где Tj (j=1,…,12) - значения независимых случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0,1).

Рис. 4 График плотности вероятности имеет вид нормальной кривой (Гаусса)

Делись добром ;)