Дискетный анализ рисковых активов

контрольная работа

7. Линейные модели финансовых временных последовательностей

Определение. Последовательность , называется последовательностью скользящего среднего, если она представима в виде

. (7.1)

Если при , то

(7.2)

и последовательность называется односторонней последовательностью скользящего среднего. Если к тому же при , то

(7.3)

и последовательность называется последовательностью скользящего среднего порядка . На рисунке 7.1 представлена машинная реализация последовательности .

Рисунок 7.1. Машинная реализация последовательности скользящего среднего порядка , с коэффициентами

Из результатов предыдущего параграфа следует, что спектральная плотность последовательности (7.3)

(7.4)

с .

Задача. Обосновать формулу (7.4).

Определение. Последовательность

(7.5)

называется последовательностью авторегрессии порядка .

На рисунке 7.2 представлена машинная реализация авторегрессионной последовательности

Рисунок 7.2. Машинная реализация авторегрессионной последовательности: .

Найдем решение уравнения (7.5). Для этого определим оператор сдвига

. (7.6)

Из (7.6) следует, что . С использованием оператора уравнение (7.5) примет вид:

, (7.7)

где единица понимается как тождественный оператор. Рассмотрим многочлен . Тогда , где - корни многочлена . Отсюда уравнение (7.7) приобретает вид:

, (7.8)

которое превращается в систему рекуррентных уравнений

(7.9)

где . Рассмотрим -е уравнение системы (7.9) , которое имеет вид:

. (7.10)

Введем обозначение . Решение уравнения (7.10)

(7.11)

Пусть и для любых и , тогда при . Тогда решение уравнения представляется в виде :

. (7.12)

Является справедливой теорема.

Теорема. Если корни многочлена лежат вне единичной окружности, то решение уравнения (7.10) является односторонним скользящим средним.

Доказательство. Для утверждение теоремы очевидно: , причем . Пусть оно справедливо для , то есть , причем . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где причем Доказательство. Для утверждение теоремы очевидно. Пусть оно справедливо для , то есть , причем . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где , причем . Последнее справедливо потому, что последовательность - свертка последовательностей и , каждая из которых принадлежит . Отсюда

. (7.13)

Причем ряд, стоящий в правой части сходится в среднеквадратическом смысле.

Спектральная плотность последовательности

. (7.14)

Задача. Доказать формулу (7.14).

Пример. Рассмотрим последовательность . Нули многочлена : , лежат вне единичной окружности. Следовательно, последовательность представима в виде одностороннего скользящего среднего. Рассмотрим , где . Тогда . Отсюда .

Определение. Модель случайной последовательности

. (7.15)

Называется смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.

Теорема. Если нули полинома лежат вне единичной окружности, то последовательность представима в виде скользящего среднего и спектральная плотность последовательности имеет вид:

, (7.16)

где .

Задача. Доказать теорему.

Делись добром ;)