Дискетный анализ рисковых активов
7. Линейные модели финансовых временных последовательностей
Определение. Последовательность , называется последовательностью скользящего среднего, если она представима в виде
. (7.1)
Если при , то
(7.2)
и последовательность называется односторонней последовательностью скользящего среднего. Если к тому же при , то
(7.3)
и последовательность называется последовательностью скользящего среднего порядка . На рисунке 7.1 представлена машинная реализация последовательности .
Рисунок 7.1. Машинная реализация последовательности скользящего среднего порядка , с коэффициентами
Из результатов предыдущего параграфа следует, что спектральная плотность последовательности (7.3)
(7.4)
с .
Задача. Обосновать формулу (7.4).
Определение. Последовательность
(7.5)
называется последовательностью авторегрессии порядка .
На рисунке 7.2 представлена машинная реализация авторегрессионной последовательности
Рисунок 7.2. Машинная реализация авторегрессионной последовательности: .
Найдем решение уравнения (7.5). Для этого определим оператор сдвига
. (7.6)
Из (7.6) следует, что . С использованием оператора уравнение (7.5) примет вид:
, (7.7)
где единица понимается как тождественный оператор. Рассмотрим многочлен . Тогда , где - корни многочлена . Отсюда уравнение (7.7) приобретает вид:
, (7.8)
которое превращается в систему рекуррентных уравнений
(7.9)
где . Рассмотрим -е уравнение системы (7.9) , которое имеет вид:
. (7.10)
Введем обозначение . Решение уравнения (7.10)
(7.11)
Пусть и для любых и , тогда при . Тогда решение уравнения представляется в виде :
. (7.12)
Является справедливой теорема.
Теорема. Если корни многочлена лежат вне единичной окружности, то решение уравнения (7.10) является односторонним скользящим средним.
Доказательство. Для утверждение теоремы очевидно: , причем . Пусть оно справедливо для , то есть , причем . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где причем Доказательство. Для утверждение теоремы очевидно. Пусть оно справедливо для , то есть , причем . Из (7.12) следует, что . Следовательно, , где , причем . Последнее справедливо потому, что последовательность - свертка последовательностей и , каждая из которых принадлежит . Отсюда
. (7.13)
Причем ряд, стоящий в правой части сходится в среднеквадратическом смысле.
Спектральная плотность последовательности
. (7.14)
Задача. Доказать формулу (7.14).
Пример. Рассмотрим последовательность . Нули многочлена : , лежат вне единичной окружности. Следовательно, последовательность представима в виде одностороннего скользящего среднего. Рассмотрим , где . Тогда . Отсюда .
Определение. Модель случайной последовательности
. (7.15)
Называется смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.
Теорема. Если нули полинома лежат вне единичной окружности, то последовательность представима в виде скользящего среднего и спектральная плотность последовательности имеет вид:
, (7.16)
где .
Задача. Доказать теорему.