5. Спектральное представление стационарных в широком смысле последовательностей

Представление последовательности (4.3) и интегральное представление ковариационной функции в примере 3 наводит на мысль о возможности получения представления произвольной стационарной последовательности в виде интегрального обобщения суммы (4.3). Формально это можно сделать следующим образом. Определим функцию

. (5.1)

Использование функции позволяет записать (4.3) в виде:

, (5.2)

где .

Правая часть (5.2) напоминает интегральную сумму для интеграла . Однако, функция является случайной функцией. При фиксированном функция может иметь неограниченную вариацию. Поэтому понимание интеграла для каждого как интеграла Римана-Стилтьеса неприемлемо. Процессом с ортогональными приращениями назовем случайную функцию , если

1) для каждого ;

2) для каждого ;

3) для любых .

Определим случайную меру полуоткрытого интервала :

. (5.3)

Определим случайную меру для суммы непересекающихся интервалов :

(5.4)

Рассмотрим алгебру , порожденную полуоткрытыми интервалами . Соотношение (5.4) определяет элементарную стохастическую меру на . Напомним, что элементарной стохастической мерой называется комлекснозначная функция , определенная для и , если

1) , ;

2) для любых непересекающихся ;

3) для любых непересекающихся , что .

4) для любых непересекающихся и .

Задача. Доказать выполнение 1)-4) .

Определим функцию

. (5.5)

Как легко показать, является конечной мерой, и, следовательно, по теореме Каратеодори может быть продолжена на , где - минимальная - алгебра, содержащая (борелевская - алгебра). Эту меру мы будем обозначать и называть структурной функцией элементарной стохастической меры .

Итак, перейдем к построению интеграла. Пусть

. (5.6)

Для каждой такой функции определим интеграл:

. (5.7)

Отметим, если , то

. (5.8)

Пусть - гильбертово пространство комплеснозначных функций со скалярным произведением . Таким образом, для любых функций вида (5.7) в силу (5.8) . Это соотношение является ключевым при определении интеграла.

Пусть , тогда существует последовательность функций вида (5.6), что при . Тогда при . То есть последовательность является фундаментальной. Из полноты гильбертова пространства следует существование случайной величины , что . Ее естественно назвать интегралом от функции по стохастической мере . Естественно использовать для этой случайной величины интегральную запись .

Отметим основные свойства стохастического интеграла:

1) ;

2) , где и - константы;

3) если , то .

Задача. Доказать свойства 1)-3).

Замечание. Поскольку - конечна, то элементарная стохастическая мера может быть продолжена на - алгебру . Пусть , тогда . Определим

. (5.4)

Задача. Доказать

1) Если , то .

2) Если , то .

3) .

4) Если , то при .

5) Если , то .

Пусть ковариационная функция стационарной в широком смысле последовательности . Является справедливой теорема.

Теорема (Герглотц). Существует конечная мера на (- борелевская - алгебра подмножеств интервала ) , , что для любого

. (5.5)

Обозначим через . В этом обозначении

. (5.6)

Если - абсолютно непрерывная функция: , то

(5.7)

Из (5.6) следует, что если , то

. (5.8)

Функция называется спектральной функцией, функция называется спектральной плотностью.

Если последовательность - вещественнозначная, то

,

если - абсолютно непрерывная функция, то

. (5.9)

Пусть - стационарная в широком смысле последовательность, тогда из теоремы Герглотца существует представление (5.6).

Пусть - гильбертово пространство комплескснозначных функций со скалярным произведением .

Обозначим через - линейное многообразие, порожденное функциями . Отметим, что - конечная мера на . Отсюда замыкание совпадает с .

Рассмотрим линейное многообразие , порожденное случайными величинами , и (замыкание в среднеквадратичном смысле). Построим изоморфизм .

1) .

2) (предполагается, что только конечное число коэффициентов не равно нулю).

Отметим, что , аналогично

. (5.10)

В частности,

(5.11)

3) Пусть , тогда существует последовательность отсюда и из (5.11) следует, что последовательность является фундаментальной последовательностью, следовательно, существует . Справедливо и обратное. Положим , где и , рассмотренные выше элементы.

Задача.

Доказать, что построенное отображение , является изоморфизмом, сохраняющим скалярное произведение.

Рассмотрим . Определим процесс

. (5.12)

Задача. Доказать, что процесс, определенный формулой (5.12) является процессом с ортогональными приращениями.

Пусть . Покажем, что . Рассмотрим последовательность простых функций, сходящуюся к , тогда последовательность сходится к . С другой стороны . Кроме этого последовательность сходится к . Следовательно, .

Возьмем функцию , . С другой стороны . Следовательно,

. (5.13)

Формула (5.13) называется спектральным представлением стационарной в широком смысле последовательности .

Задача.

Доказать, что .

Пусть - стационарная в широком смысле последовательность, состоящая из действительных случайных величин. Тогда из (5.13) следует, что . Отсюда, .

Задача. Представим в виде . Пусть . Доказать, что .

Задача. Доказать

. (5.14)

Пусть . Структура таких случайных величин определяется следующей теоремой.

Теорема. Если , то найдется такая функция , что

. (5.15)

Доказательство. Поскольку , то найдется последовательность , вида , предел которой равен . Рассмотрим последовательность функций . Поскольку последовательность -фундаментальна, то и последовательность - фундаментальна. Следовательно, существует предел . Переходя к пределу в равенстве , получим формулу (5.15). Причем

. (5.16)

Важным приложением формулы (5.15) является линейное преобразование последовательности , называемое линейным фильтром.