4.3 Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)

В качестве целевой функции в данном методе используется функционал

S = (Y_{t -} ) ² > min, (15)

представляющий собой минимизируемую сумму квадрата отклонений экспериментальных значений Y_t от соответствующих результатов, полученных по выравнивающей функции . Принципиальные отличия функционала (15) от (3) состоят в следующем. Для функционала (3) весь диапазон исходных данных приходится разбивать на равные части, количество которых должно быть равно количеству определяемых коэффициентов выравнивающей функции (А, В, С и т.д.).

В функционале (15) интервал суммирования охватывает весь диапазон от t=1 до t= N и сам функционал стремится к min, а разность (Y_{t -} ) возводится в квадрат.

Примем в качестве выравнивающей линейную функцию

= A + Bt (16)

Так как мы используем весь заданный интервал для t (от 1 до 13), то при написании знака суммы пределы суммирования опустим.

Подставим (16) в (15)

S=? (Y_{t -} A - Bt) ²>min. (17)

Функционал (17) содержит два неизвестных коэффициента (АиВ). Для получения двух уравнений запишем частные производные функционала по неизвестным коэффициентам:

= 2 ? (Y_{t -} A - Bt) * (-1) =0, (18)

= 2 ? (Y_{t -} A - Bt) * (-t) =0. (19)

Перепишем эту систему в виде нормальных уравнений

NА + В?t = ?Y_t, (20)

А?t + В?t² = ?Y_tt. (21)

Подставим в полученную систему из табл.1 расчетные параметры: ?t; ?Y_t; ?t^2; ?Y_tt:

13A+91B=1169,6; (22)

91A+819B=8433,6. (23)

Решением системы уравнений (22) и (23) является результат:

A= 80,52, B=1,35. (24)

Полученное уравнение тренда примет вид:

= 80,52+1,35t. (II) (25)