1. Возврат и логарифмический возврат

логарифмический возврат статистический линейный

Предположим, что мы определили единицу измерения времени (один день, один месяц или один год). Последовательность - рыночная стоимость акции, обменный курс двух валют или что-либо иное. В этом пособии мы будем придерживаться вероятностного подхода, и следовать общепринятой аксиоматике теории вероятностей. То есть - стохастическая последовательность, которая определена на некотором вероятностном пространстве , где - пространство элементарных случайных событий (случаев) ( в рассматриваемом контексте состояний рынка);

F - -алгебра подмножеств - совокупность событий наблюдаемых на рынке;

- семейство вероятностных мер, возможно, параметрическое, на .

Для различных финансовых теорий время и динамика являются неотъемлемой частью рассуждений, поэтому целесообразно рассмотреть поток - подалгебр . Смысл введения потока, называемого в литературе также фильтрацией заключается в том, чтобы в любой момент времени оперировать, только теми случайными событиями, которые «доступны» наблюдателю до момента времени включительно. Например, до момента времени включительно наблюдателю могут быть доступны стоимости тех или иных активов, начиная с некоторого начального момента до момента времени .

Таким образом, базовой вероятностной моделью является

, (1.1)

называемая фильтрованным стохастическим экспериментом.

Если рассматривать как информацию доступную к моменту времени , то естественно считать, что последовательность - адаптирована, то есть для любого момента времени измеримы. Интерпретация как цены в момент времени приводит к тому, что .

Существует два наиболее распространенных способа представления временного ряда :

. (1.2)

Откуда

, (1.3)

где , и

(1.4)

называют возвратом, отдачей, логарифмической прибылью (return).

Другой способ представления

. (1.5)

Откуда

(1.6)

и

. (1.7)

Рассмотрим последовательность и обозначим через , .

Определяемая этим выражением последовательность называется стохастической экспонентой, порождаемой . Формула (1.6) трансформируется в формулу

(1.8)

Сопоставление (1.3) с (1.8) приводит к соотношениям

(1.9)

При малых значениях при этом ошибка .

Таким образом, представление 1 и представление 2 в одинаковой степени могут быть использованы для описания последовательности .

Далее мы будем использовать первое представление, поскольку второе представление накладывает ограничение на . Из того, что непосредственно следует, что . В тоже время различного рода ограничения могут существенно отразиться на сложности статистических задач.