2.3 Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Игра (2 2) с матрицей без седловой точки.

Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x₁, x₂) и (y₁, y₂), где x₁ - вероятность применения первым игроком первой стратегии, x₂ - вероятность применения первым игроком второй стратегии, y₁ - вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y₂ - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x₁ + x₂ = 1, y₁ + y₂ = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А₁, правый (x = 1) - стратегии А₂. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x₁, x₂) первого игрока, где x₁ =1 - x₂. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А₁ и А₂ составит соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)

Рис.1. Стратегии игрока А

Аналогично строится отрезок В₂В₂, соответствующий стратегии В₂ игрока В.

Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, будут активными стратегиями.

В игре (2 2) обе стратегии являются активными.

Рис.2. Стратегии игроков А и В

Ломаная В₁NВ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка N, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x₁ + x₂ = 1, получим

, , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y₁ + y₂ = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Второй случай. Игра (2 n) с матрицей

.

Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Третий случай. Рассмотрим игру (m 2) с матрицей

.

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.

Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.

Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).