4. Методические указания и решение типовых задач

Средняя является обобщающей характеристикой совокупности единиц по качественно однородному признаку.

В статистике применяются различные виды средних: арифмети-ческая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структур-ные средние -- мода, медиана. Средние, кроме моды и медианы, исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя ариф-метическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая равна сумме значений признака, деленной на их число:

х

х = ,

n

где х - значение признака (вариант);

n -- число единиц признака.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бума-гами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. руб.

Определить средний доход банка по данной операции.

Решение. Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами равен

х = 4,2/5 = 0,84 тыс. руб.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных 1 рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (х) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), назы-ваемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная:

хf

х = ,

f

Пример 2. Имеются данные страховых организаций области числе заключенных договоров по личному добровольному страхованию.

Определить среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию области.

Решение. Среднее число договоров на одну страховую органи-зацию определяется отношением общего числа заключенных дого-воров к числу страховых организаций:

20 * 6 + 26 * 10 + 30 * 15 + 32 * 16 + 36 * 3 1450

---------------------------------- = ---- = 29 тыс.

50 50

В качестве весов могут быть использованы относительные величины, выраженные в процентах (d). Метод расчета средней не изменится:

хd

х = ,

d

Если проценты заменить коэффициентами (d = 1), то х = xd.

х = 20 * 0,12 + 26 * 0,2 + 30 * 0,3 + 32 * 0,32 + 36 .0,06 = 29,0 тыс.

Пример 3. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств района по размерам угодий:

Определить средний размер угодья на одно фермерское хозяйство:

по району.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых ин-тервалов (группы II--IV) за дискретное число принимается средняя: арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами группы I и V) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе --интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2:

x = 4900/100 = 49 га.

В статистике приходится вычислять средние по вариантам, ко-торые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которой весами являются объемы единиц в группах.

Пример 4. Просроченная задолженность по кредитам акционер-ных обществ (АО) за отчетный период характеризуется следующими данными:

Определить средний процент просроченной задолженности АО.

Решение. Экономическое содержание показателя равно

Удельный вес просроченной задолженности, % =

объем просроченной задолженности

-------------------------------- * 100.

объем общей задолженности

Для расчета среднего процента просроченной задолженности надо сравнить суммарные показатели просроченной и общей задол-женности АО.

Наряду со средней арифметической применяется средняя гармо-ническая, которая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.

Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются сле-дующими показателями:

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основой выбора формы средней является реальное ,содержание определяемого показателя:

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) * 100.

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разде-лив доход банка (М) на процентную ставку (x) (см. последнюю графу).

Приведенная формула называется средней гармонической взве-шенной, где веса представляют собой произведения процентной став-ки (х) на сумму кредита (f): М = xf.

Мода -- значение признака, наиболее часто встречающееся в изу-чаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рас-считывается по формуле.

где Мо --мода;

-- нижняя граница модального интервала;

-- величина модального интервала;

-- частота модального интервала;

-- частота интервала, предшествующего модальному;

-- частота интервала, следующего за модальным.

Пример 6. Имеются данные о распределении работников пред-приятия по уровню среднемесячной заработной платы:

Определить модальный размер заработной платы.

Решение. Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек -- имеют заработную плату в интервале 700--800 руб., который и является модальным.

Медианой называется вариант, расположенный в середине упо-рядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8. В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле.

где Me -- медиана;

-- нижняя граница медианного интервала;

-- величина медианного интервала;

-- сумма частот ряда;

-- сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

-- частота медианного интервала.

Пример 7. По данным примера 6 рассчитать медиану.

Решение. Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2 = 100).

В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700--800. Это и есть медианный интервал, в котором на-ходится медиана.

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 руб., а половина -- выше этой суммы.

Показатели вариации. Для измерения степени колеблемости от-дельных значений признака от средней исчисляются основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия -- это средняя арифметическая квадратов откло-нений отдельных значений признака от их средней арифметической.

В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической простой или взвешенной:

- невзвешенная (простая);

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко-рень квадратный из дисперсии и равно:

— невзвешенное;

-- взвешенное.

В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и вы-ражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации -- коэффициент вариации (V), который представляет; собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значе-ний признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.

Пример 8. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческих банков:

Определить:

1) средний стаж работников;

2) дисперсию;

3) среднее квадратическое отклонение;

4) коэффициент вариации.

Решение. 1. Средний стаж работников

x =500/100 =5 лет.

2. Дисперсия

356/100 =3,56 3,6;

3. Среднее квадратическое отклонение = 356/100 = 3.6 = 1,8867.

4. Коэффициент вариации = 1,8867/5-100=37,7%.

Правило сложения дисперсий (вариаций). Для статистической совокупности, сгруппированной по изучаемому признаку, возможно вычисление трех видов дисперсий: общей, частных (внутригрупповых) - и межгрупповой. Общая дисперсия характеризует вариацию всех единиц совокупности от общей средней, частные - вариацию признака в группах от групповой средней и межгрупповая -- вариацию групповых средних от общей средней. Между указанными видами дисперсий существует соотношение, которое называют правилом сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из частных дисперсий и межгрупповой:

Если основанием группировки является факторный признак, то с помощью правила сложения дисперсий можно измерить силу его влияния на результативный признак, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой дисперсии к общей и показывает долю общей вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

По абсолютной величине он может изменяться от 0 до 1. Если = 0, группировочный признак не оказывает влияния на результа-тивный. Если = 1, изменение результативного признака полностью обусловлено группировочным признаком, т.е. между ними сущест-вует функциональная связь.

Пример 9. По данным выборочного обследования заработной платы работников бюджетной сферы получены следующие показатели:

Определить:

1) среднюю заработную плату работников по двум отраслям;

2) дисперсии заработной платы: а) среднюю из групповых дисперсий (отраслевых), б) межгрупповую (межотраслевую), в) общую;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение. 1. Средняя заработная плата работников по двум отраслям равна

2. а) Средняя из групповых дисперсий равна

б) Межгрупповая дисперсия равна

в) Применяя правила сложения дисперсий, получим общую дис-персию:

а) Коэффициент детерминации равен 0,4424, или 44,24%.

Он показывает, что оплата труда на 44,24% зависит от отрасле-вой принадлежности работников и на 55,76% -- от внутриотраслевых причин.

б) Эмпирическое корреляционное отношение составляет, что свидетельствует о существенном влиянии на дифференциацию заработной платы отраслевых особенностей.