Задание 1
Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y - стоимость квартиры (тыс. у.е.), x - размер общей площади (м2)). Данные приведены в табл. 1.4.
Таблица 1
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
у |
22,5 |
25,8 |
20,8 |
15,2 |
25,8 |
19,4 |
18,2 |
21,0 |
16,4 |
23,5 |
18,8 |
17,5 |
|
х |
29,0 |
36,2 |
28,9 |
32,4 |
49,7 |
38,1 |
30,0 |
32,6 |
27,5 |
39,0 |
27,5 |
31,2 |
Задание:
1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий
и .
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Таблица 2
х |
х2 |
у |
ху |
у2 |
А(%) |
|||||||||
29,0 |
841,0 |
22,5 |
652,5 |
506,3 |
2,1 |
-4,5 |
4,38 |
20,33 |
18,93 |
3,57 |
12,75 |
15,871 |
||
36,2 |
1310,4 |
25,8 |
934,0 |
665,6 |
5,4 |
2,7 |
29,07 |
7,25 |
21,28 |
4,52 |
20,40 |
17,506 |
||
28,9 |
835,2 |
20,8 |
601,1 |
432,6 |
0,4 |
-4,6 |
0,15 |
21,24 |
18,90 |
1,90 |
3,62 |
9,152 |
||
32,4 |
1049,8 |
15,2 |
492,5 |
231,0 |
-5,2 |
-1,1 |
27,13 |
1,23 |
20,04 |
-4,84 |
23,43 |
31,847 |
||
49,7 |
2470,1 |
25,8 |
1282,3 |
665,6 |
5,4 |
16,2 |
29,07 |
262,17 |
25,70 |
0,10 |
0,01 |
0,396 |
||
38,1 |
1451,6 |
19,4 |
739,1 |
376,4 |
-1,0 |
4,6 |
1,02 |
21,08 |
21,90 |
-2,50 |
6,27 |
12,911 |
||
30,0 |
900,0 |
18,2 |
546,0 |
331,2 |
-2,2 |
-3,5 |
4,88 |
12,31 |
19,26 |
-1,06 |
1,12 |
5,802 |
||
32,6 |
1062,8 |
21,0 |
684,6 |
441,0 |
0,6 |
-0,9 |
0,35 |
0,83 |
20,11 |
0,89 |
0,80 |
4,256 |
||
27,5 |
756,3 |
16,4 |
451,0 |
269,0 |
-4,0 |
-6,0 |
16,07 |
36,10 |
18,44 |
-2,04 |
4,16 |
12,430 |
||
39,0 |
1521,0 |
23,5 |
916,5 |
552,3 |
3,1 |
5,5 |
9,56 |
30,16 |
22,20 |
1,30 |
1,69 |
5,536 |
||
27,5 |
756,3 |
18,8 |
517,0 |
353,4 |
-1,6 |
-6,0 |
2,59 |
36,10 |
18,44 |
0,36 |
0,13 |
1,923 |
||
31,2 |
973,4 |
17,5 |
546,0 |
306,3 |
-2,9 |
-2,3 |
8,46 |
5,33 |
19,65 |
-2,15 |
4,62 |
12,277 |
||
402,1 |
13927,8 |
244,9 |
8362,6 |
5130,7 |
0,0 |
0,0 |
132,7 |
454,1 |
- |
- |
79,0 |
129,9 |
||
Среднее значение |
33,5 |
1160,7 |
20,4 |
696,9 |
427,6 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
6,6 |
10,8 |
|
6,43 |
- |
3,47 |
- |
- |
||||||||||
41,28 |
- |
12,06 |
- |
- |
Тогда
,
и линейное уравнение регрессии примет вид: .
Рассчитаем коэффициент корреляции:
.
Связь между признаком и фактором заметная.
Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R2 = 0,6062 = 0,367
Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:
,
допустимые значения которой 8 - 10 %.
Вычислим значение -критерия Фишера.
,
где
- число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );
- объем совокупности.
.
По таблице распределения Фишера находим
.
Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.
Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.
Таблица 3
y |
yU |
y2 |
А(%) |
|||||||||||
5,385 |
29,0 |
22,5 |
121,17 |
506,25 |
1,640 |
-0,452 |
2,69 |
0,20 |
13,74 |
8,76 |
76,7 |
38,92 |
||
6,017 |
36,2 |
25,8 |
155,23 |
665,64 |
4,940 |
0,180 |
24,40 |
0,03 |
14,01 |
11,79 |
139,0 |
45,70 |
||
5,376 |
28,9 |
20,8 |
111,82 |
432,64 |
-0,060 |
-0,461 |
0,004 |
0,21 |
13,74 |
7,06 |
49,9 |
33,95 |
||
5,692 |
32,4 |
15,2 |
86,52 |
231,04 |
-5,660 |
-0,145 |
32,04 |
0,02 |
13,87 |
1,33 |
1,8 |
8,72 |
||
7,050 |
49,7 |
25,8 |
181,89 |
665,64 |
4,940 |
1,213 |
24,40 |
1,47 |
14,42 |
11,38 |
129,5 |
44,11 |
||
6,173 |
38,1 |
19,4 |
119,75 |
376,36 |
-1,460 |
0,336 |
2,13 |
0,11 |
14,07 |
5,33 |
28,4 |
27,45 |
||
5,477 |
30,0 |
18,2 |
99,69 |
331,24 |
-2,660 |
-0,360 |
7,08 |
0,13 |
13,78 |
4,42 |
19,5 |
24,27 |
||
5,710 |
32,6 |
21,0 |
119,90 |
441 |
0,140 |
-0,127 |
0,02 |
0,02 |
13,88 |
7,12 |
50,7 |
33,89 |
||
5,244 |
27,5 |
16,4 |
86,00 |
268,96 |
-4,460 |
-0,593 |
19,89 |
0,35 |
13,68 |
2,72 |
7,4 |
16,58 |
||
6,245 |
39,0 |
23,5 |
146,76 |
552,25 |
2,640 |
0,408 |
6,97 |
0,17 |
14,10 |
9,40 |
88,3 |
39,98 |
||
58,368 |
343,4 |
208,600 |
1228,71 |
4471,02 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
313,567 |
||
Среднее значение |
5,837 |
34,34 |
20,860 |
122,871 |
447,10 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
31,357 |
|
0,549 |
- |
3,646 |
- |
- |
- |
- |
||||||||
0,302 |
- |
13,292 |
- |
- |
- |
- |
Рассчитаем параметры уравнения:
,
,
.
Коэффициент корреляции
.
Коэффициент детерминации
,
следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .
,
,
следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
,
,
,
.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем
.
Тогда
.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
, ,
, .
Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1. , следовательно, качество модели не очень хорошее.
2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем . Тогда .
3. Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .
- 2. Эконометрика и контроллинг
- 77. Эконометрика, её задача и метод.
- Предмет, цели и задачи эконометрики. Связь эконометрики с другими областями знаний. Типы выборочных данных в эконометрике.
- 2. Задачи, критерии, принципы эконометрики.
- Предмет эконометрики. Цели и задачи эконометрики
- 75. Эконометрика, её задача и метод.
- Эконометрика как наука. Предмет, цель и задачи эконометрики. История развития эконометрики