Решение задач на переливание на бильярдном столе

реферат

Введение

В данной работе изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд». Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в работе.

Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном столе с лузами посвящена книга известного французского физика Г.Г. Кориолиса, написанная им в 1835 г. за год до избрания его академиком Парижской академии наук.

Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой -- лежат на стыке отраслей современной математики -- теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания -- разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные -- непериодические.

Интерес представляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическая траектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (если принять минимальный период периодической траектории, скажем, за единицу)?

Оказывается, это далеко не праздные вопросы -- например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики.

Многие результаты являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой.

В первом разделе данной работы описана математическая модель бильярда.

Во втором разделе описаны виды траекторий бильярного шара.

В третьем разделе описаны задачи на «переливание» и их решение с помощью математической модели бильярда.

Делись добром ;)