1.1 Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ) [19, 5; 20, 104], но все они сводятся к одному - это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

l По наличию условия оптимальности:

Ѓ Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» [21, 16];

Ѓ Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» [21, 16];

l По учёту неопределённости:

Ѓ Стохастические (учитывают условие неопределённости);

Ѓ Детерминированные (не учитывают условие неопределённости);

[22, 65].

Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом.

Пусть обозначает вектор затрат ресурсов, , ; - вектор объёмов производства, , . Совокупность технологических условий может быть формально записана как множество Z пар (X, Y), в неотрицательном ортанте пространства R^n+m. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств (X^*,Y^*), такой, что, если X<X^*, а Y>Y^*, то (X, Y) = (X^*,Y^*). То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначим Z^*.

Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием, M₁, и не воспроизводимые, M₂. Соответственно, X₁ - объёмы воспроизводимых ресурсов, X₂ - объёмы не воспроизводимых ресурсов.

В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации:

(1.1)

Множество Z^* можно описать с помощью многозначного отображения F(X) - общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов.

По данным о входных переменных X мажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выход Y.

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция

, , (1.2)

характеризует максимально возможный объём выпуска продукта j в зависимости от затрат всех m ресурсов. Каждой точке соответствует единственный максимальный выпуск . Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде:

(1.3)

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.3), но при этом не препятствует использованию (1.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара.

В качестве критерия классификации производственных функций, кроме уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»:

1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами.

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции означает, что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее будем опускать индекс j, когда речь идёт о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [23, 170]:

1. Если X=0, то и y=0;

2. Если , то , причём, если , то ; из этого, в частности, следует, что при . В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурса s сверх величины приводит к уменьшению объёма производства, надо непосредственно использовать , а излишек оставить в резерв. Если x_s=0 и y=0 при положительных затратах многих ресурсов, то ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.).

Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска , называется изоквантой.

В общем случае изокванты - это поверхности в m-мерном пространстве ресурсов. Поскольку , то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат.

Для наглядности построим линейную производственную функцию по данным нашего предприятия.

Входными параметрами являются ресурсы, а выходными - результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции.

В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются величины затрат живого труда, предметов и средств труда, используемых в процессе производства: накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) L труд. В качестве результата рассматривается объемы выпуска Q.

Выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (капитала и труда). Моделью производственной функции является:

Q= F(K, L),

где Q - выход;

K - капитал;

L - трудовые ресурсы.

Производственная функция должна удовлетворять следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F(K, L) - непрерывная дважды дифференцируемая функция в области K>0;

2) , - с ростом ресурсов выпуск растет;

3) , - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

Темпы прироста часто убывают при увеличении какого-либо фактора, особенно, если производство ведется по какой-либо неизменной технологии. Убывание темпов роста при увеличении масштабов производства часто связано с вынужденным использованием более дорогих или менее качественных ресурсов. При этом при достижении определенного уровня инвестиций в производство какого-нибудь отдельного фактора рост производства прекращается полностью, несмотря на увеличение рассматриваемого фактора.

4) F(K, L) = F(K, L) - гипотеза однородности

5) F(0, L) = F(K, 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

6) - для F(K, L, t) - функция возрастает по времени, скорость возрастает зависит от объемов затраченных ресурсов.

Линейная модель производственной функции (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

= ,

где b₁, c₁ >0 - частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

Для линейной модели функция невязок имеет форму

по а₀, b₁, c₁. Производные по коэффициентам вычисляются из

приравниваем к нулю

Подставив данные из таблицы 2 приложения Б в систему, получим:

.

Решим систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Получим систему:

это и будет единственное решение заданной системы.

Следовательно, теперь мы можем построить производственную функцию:

=*K+*L.

Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя . Сравним полученные значения с существующими.

Таблица 1 - Существующие и вычисленные значения выручки по линейной производственной функции.

Рисунок 1 - Изокванты и изоклинали производственной функции.

Линейная производственная функция является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

На рисунке 1 изображены изокванты - кривые в пространстве двух ресурсов труда и капитала. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ исследуемого предприятия.