Задание 1. Интервалы устойчивости двойственных оценок

1. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению свободных членов ограничений

Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова используется сырье из тех же металлов, отличающееся составом и стоимостью.

Определить, сколько нужно взять сырья каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова не более 30%, цинка не менее 10%, свинца не более 40%.

Математическая модель: Пусть х_i - доля сырья i-го вида в единице полученного сплава. Тогда функция цели (себестоимость единицы сплава в у.е.) запишется следующим образом:

.

Система ограничений будет иметь вид:

Запишем систему в каноническом виде:

Оптимальная симплекс-таблица:

Оптимальное решение: и оптимальное значение целевой функции: .

Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения единицы сплава минимальной себестоимости необходимо взять 40% сырья №2 и 60% сырья №3. При этом сплав содержит ровно 30% олова, более 20% (точнее, 42%) цинка и менее 40% (28%) свинца. Минимальная себестоимость единицы сплава составляет 5,28 у.е. Оптимальные двойственные оценки .

Теперь найдём область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений. Как известно, область устойчивости двойственных оценок - это область изменения свободных членов ограничений, при которой двойственные оценки не меняются. Неизменность двойственных оценок говорит о том, что не меняют своих номеров базисные и свободные переменные в решении.

В связи с вычислением интервалов устойчивости необходимо сделать замечание о знаках неравенств. Мы помним, что изначально их изменение мы учитывали (< на >), но знаки самих неравенств не меняли. Сейчас мы также не будем менять знаки второго и четвёртого неравенств, но примем во внимание обратный знак при расчёте конкретных значений. (Это делается для более наглядной экономической интерпретации интервалов устойчивости.)

Пусть свободные члены изменились на ,, и соответственно. Тогда оптимальное решение новой задачи (базисные компоненты) можно найти как:

.

Базисное решение вычисляется через матрицу, обратную к базисной, и свободные члены ограничений. Из оптимальной симплекс-таблицы получим матрицу, обратную к базисной, и оптимальное решение (базисные компоненты):

=>

Все элементы решения должны быть неотрицательны, иначе решение будет недопустимым, т.е. базисное решение остаётся оптимальным до тех пор, пока оно допустимое. Область устойчивости следующая:

.

Теперь найдём интервалы устойчивости (интервал устойчивости двойственных оценок к изменению правой части ограничения или i-го ресурса - такое множество i-го ресурса, при котором двойственные оценки не меняются):

1),:

=> ,

2),:

=> ,

3),:

=> ,.

4),:

=> ,.

Полученные результаты экономически означают, что свободный член в первом ограничении может меняться от 0,5 до 1,26, но экономического смысла это ни какого не имеет, т.к. сумма составляющих долей сплава всегда 100%. Содержание олова в новом сплаве варьируется от 10% до 60%, цинка - от нуля ( не имеет экономической интерпретации) до 42% и свинца - от 28% до 100% (аналогично случаю с цинком не может быть объяснена экономически). Возможны также различные комбинации изменений, которые описывает область устойчивости (интервалы устойчивости являются своеобразными частными случаями области устойчивости). При данных изменениях ресурсов двойственные оценки не изменятся, а значит и номера базисных переменных также не изменятся.

Изобразим область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений графически. Для этого, исходя из экономических соображений и наглядности графика, построим его в координатах и , т.е. . Получим: