4. АСИМПТОТИ КРИВОЇ

Пряма, що має рівнянняy=kx+b, називається похилої асимптотою графіка функції y=f(х) при х>?, якщо.

Звідси.

Має місце й зворотне: з останніх співвідношень треба, що пряма y=kx=b є похилою асимптотою графіка функції у=f(x). По виведених формулах обчислюються кутовий коефіцієнтk і початкову ординатуb двох асимптотy=kx+b окремо при х>+? й при х>-?. Очевидно, що якщоk = 0, то рівняння асимптоти прийме вид y=b. [1, c.66]

Визначення. Асимптота, обумовлена рівнянням у=b, називається горизонтальної асимптотою.

Визначення. Пряма, що має рівняння х=а, називається вертикальної асимптотою, якщо .

Для визначення вертикальних асимптот варто відшукати ті значення х, поблизу який функція f(х) необмежено зростає по модулю. Звичайно це точки розриву другого роду даної функції.

Приклад 9. Знайти асимптоти графіка функції f(x)=.

Так як=, то пряма х = 2 є вертикальною асимптотою. Знаходимо

Рис. 4.1

Отже, пряма, що має рівнянняy = х + 2, є похилою асимптотою графіка даної функції при х>±?. Таким чином, графік даної функції має вертикальну асимптоту, що має рівняння х = 2, і похилу асимптоту, що має рівнянняy = х + 2 (Рис. 4.1).

Загальна схема дослідження функцій і побудови графіків

З обліком викладеного вище можна рекомендувати наступну схему дослідження функції й побудови її графіка:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність і непарність;

3) дослідити функцію на періодичність

4) дослідити функцію на безперервність, знайти точки розриву;

5) знайти критичні точки першого роду;

6) знайти інтервали монотонності й екстремуми функції;

7) знайти критичні точки другого роду;

8) знайти інтервали опуклості й точки перегину;

9) знайти асимптоти графіка функції;

10) знайти точки перетинання графіка функції з осями координат (якщо це можливо);

11) побудувати графік функції.