3.2 Точки перегину

Визначення. Точка графіка безперервної функції f(х), у якій існує дотична й при переході через яку графік функції міняє напрямок опуклості, називається крапкою перегину. Відповідно до визначення в точці перегину дотична до графіка функції з однієї сторони розташована вище графіка, а з іншого боку - нижче, тобто в крапці перегину дотична перетинає криву (Рис.3.4) [1, c.65]

Рис 3.4

Необхідна умова існування точки перегину. Якщо функціяy =f(х) має безперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі (а;b) і крапка (х₀, f(х₀)), де х₀ є (а;b), є точкою перегину графіка функції f(х), то f"(х₀) = 0.

Так як точка (х₀; f(x₀)) є точкою перегину, то ліворуч і праворуч від х₀ функція f (х) має різні знаки. Але тоді в силу безперервності другій похідній маємо f(x₀) = 0.

Достатня умова існування точки перегину. Якщо функція y=f(х), х є (а,b) двічі диференційована на інтервалі (а;b) і при переході через х₀ є (а,b) друга похіднаf(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = х₀ є точкою перегину.