3.1 Опуклість графіка функції

При дослідженні поводження функції й форми її графіка корисно встановити, на яких інтервалах графік функції звернений опуклістю нагору, а на яких - опуклістю вниз. Насамперед зясуємо поняття опуклості графіка функції, що має на деякому інтервалі безперервну похідну.

Визначення. Графік функціїy=f(х), х є (а;b) називається опуклим нагору (увігнутим униз) на інтервалі (а;b), якщо графік розташований нижче (точніше не вище) будь-якій своїй дотичній (див. мал. 5). Сама функція f(х) також називається опуклою нагору (увігнутою вниз).

Визначення. Графік функціїy=f(х), х є (а;b) називається опуклим униз (увігнутим нагору) на інтервалі (а;b), якщо він розташований вище (точніше не нижче) будь-якій своїй дотичній (Рис. 3.1). Сама функція f(x) також називається опуклою вниз (увігнутою вверх).

На інтервалі опуклості нагору (увігнутості вниз) похідна функції убуває. Справді, з рис 3.1 видно, що зі зростанням аргументу х величина кута б, утвореного дотичній з позитивним напрямком осі Ох, убуває, приймаючи значення

Рис. 3.1 Рис. 3.2

між і -. При цьому tga = f(x) також убуває, приймаючи значення між +? і -?.

З рис. 3.2 аналогічним образом бачимо, що на інтервалі опуклості вниз (увігнутості нагору) похідна f(х) зростає. Можна показати, що мають місце й зворотні твердження. Достатня умова опуклості графіка функції. Якщо на інтервалі (а;b) двічі диференцюєма функціяy=f(х), х є (а;b) має негативну (позитивну) другу похідну, то графік функції є опуклим нагору (униз). Допустимо для визначеності, що f(x) < 0 для всіх х є (а;b). Розглянемо похідну f(х) як функцію від х, аf(х) - як її першу похідну. Тоді функція f(х) убуває на інтервалі (а;b), а отже, по відзначеному вище графік функціїy=f(х) на цьому інтервалі є опуклим нагору. Аналогічно, якщо f(x)> 0 для всіх х є (а;b), тj графік функціїy=f(х) на інтервалі (а;b) є опуклим униз. Досліджувати на опуклість графік функціїy=f(х) означає знайти ті інтервали з області її визначення, у яких друга похідна f(x) зберігає свій знак. Помітимо, що f(x) може міняти свій знак лише в точках, де f"(х)=0 або не існує. Такі точки прийнято називати критичними точками другого роду.

Приклад 8.

Дослідити на опуклість графік функції f(х)= х³ - Зх² + 2х + 1. Дана функція визначена на всій числовій прямій. Знаходимо критичні точки другого роду f(х) = Зх³ - 6х + 2,f(х) = 6х - 6, 6х - 6 = 0, тобто х = 1. Отже, х = 1 - критична точка другого роду. Методом подібних точок визначаємо знакf(х) у кожному зінтервалів (-?;1) і (1,+?), Так, при х = 0 є (-?,1) маємо,

f(0) = -6 < 0, а прих = 2 є (1,+?) маємо f(2) = 6 > 0, отже, у точці х = 1 похідна f(х) міняє знак з мінуса на плюс. Отже, на інтервалі (-?;1) графік даної функції звернений опуклістю нагору, а на інтервалі (1,+?) - опуклістю вниз. (Рис. 3.3).

Рис. 3.3