1. Решение экономико-математических задач методами линейного программирования (ЛП)

1.1 Линейное программирование

Линейное программирование -математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования.

Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование -- раздел науки об исследовании операций , охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи Математическое программирование находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования. Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий. Математическая формулировка задачи Математическое программирование: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве X = {x: g_i(x) ? 0, h_i(x) = 0, I = 1, 2, ..., k}, где g_i(x) и h_i(x) -- также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X -- допустимым множеством, решение х* задачи Математическое программирование -- оптимальной точкой (вектором). В Математическое программирование принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения g_i(x) и h_i (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции при линейных ограничениях , i = 1, 2, …, m, либо все величины c_j, a_ij, b_i, либо часть из них случайны. Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи -- задачи, для которых указанное свойство не выполняется. В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна -- Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть , X = {x: g_i(x) ? 0, i = 1, 2, ..., k}, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁, у*₂, ..., у*_k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа Последнее означает, что L(x*, y) ? L(x*, y*) ? L(x, у*) для любых х и всех у ? 0. Если ограничения g_i(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве. Если функции j(x) и g_i(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку , j = 1, 2, …, n; ; ; i = 1, 2, …, k; , y_i ? 0, i = 1, 2, …, k. Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе теоремы Куна -- Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа. В Математическое программирование одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x^k I X выбирается направление спуска s^k, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется x^k+1 = p(x^k + a_ks^k), где p(x^k + a_ks^k) означает проекцию точки x^k + a_ks^k на множество X: , число a_k > 0 выбирается при этом так, чтобы j(x^{k +1}) < j(x^k). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s^k = --grad j(x^k). В Математическое программирование доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х^k}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач Математическое программирование является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи Математическое программирование, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта. Важным направлением исследования в Математическое программирование являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач -- задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач -- так называемому процессу регуляризации.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.