2.2 Достатні умови існування екстремуму

Перша достатня умова екстремуму. Нехай функціяy=f(x) безперервна в точці х₀ ів деякій її околиці має похідну, інколи самої крапки х₀. [1, c.63]

Тоді:

1) якщо похідна f(х) при переході через точку х₀ змінює знак із плюса на мінус, то х₀ є точкою максимуму.

2) якщо похідна f (х) при переході через точку х₀ змінює знак з мінуса на плюс, то х₀ є точкою мінімуму.

3) якщо похіднаf (х) при переході через точку не змінює знак, то в точці х₀ функція f(x) не має екстремуму.

Приклад 5. Дослідити на екстремум функцію y=f(х)=(2х+1

1) Знаходимо похідну даної функції

2) Знаходимо критичні точки:

а) вирішуючи рівняння одержимо х = 1.

б)f(x) не існує при х = 2.

Отже, критичні точки: х₁ = 1 і х₂ -- 2.

3) Методом пробних точок визначаємо знак похідній у кожному з інтервалів: (-?; 1), (1; 2), (2; +?) (Рис. 2.5) Звідси випливає х₁ = 1 - точка максимуму, а х₂ = 2 -точка мінімуму.

4) Обчислюємо значення даної функції в точках екстремуму

y_max=f(1)=3; y_min=f(2)=0

Рис. 2.5

Друга достатня умова екстремуму. Якщо функціяy=f(х) визначена й двічі диференційована в деякій околиці точки х₀, причому f(x₀)=0, f(x₀)0, то в точці х₀ функція f(х) має максимум, якщо f(x₀) < 0, і мінімум, якщоf"(х₀) > 0.

Приклад 6.

Дослідити на екстремум функціюy= (х³)-2х²+Зх-4.

1) Знаходимо похіднуf(х)=((х³)-2х²+Зх-4)=х²-4х+З. .

2) Вирішуючи рівняння х² - 4х + 3 = 0, знаходимо критичні точки: х₁ = 1 і х₂ = 3.

3) Знаходимо другу похідну:f(х) = (f(x)) = 2х - 4.

4) Визначаємо знак другої похідної в критичних точках, для чого обчислюємоf(1) = -2 < 0 і f(3) = 2 > 0. Отже, х₁ = 1 - точка максимуму, а х₂ = 3 - точка мінімуму.

5) Обчислюємо максимальне й мінімальне значення функції

y_max=f(1)= -, y_min=f(3)=-4 Помітимо, що у випадку, коли друга похідна в критичній точці обертається в нуль або не існує, друге правило знаходження екстремуму за допомогою другої похідної незастосовно. У цьому випадку дослідження функції на екстремум можна проводити за першим правилом.

Приклад 7.

Дослідити на екстремум функцію f(х) = х⁴ - 2.

1) Знаходимоf(х) = 4x³.

2) Вирішуючи рівняння 4х³ = 0, одержуємо критичну точку х=0.

3) Знаходимо f(х) =12х².

4) Обчислюємоf(0)=0.У критичній точці друга похідна обертається в нуль, тому дослідження проводимо за першим правилом. Тому щоf(х) < 0 при х < 0, аf(х) > 0 при х > 0, то в точці х = 0 дана функція має мінімум, причому f_min=f(0) = -2. [1,c.64]