2.1 Необхідні умови існування екстремуму

Необхідні умови існування екстремуму дає теорема Ферма, якщо точка х₀ є точкою екстремуму функції y=f(x) і в цій точка існує похідна f(х₀), то f(х₀) =0.

Ця теорема має простий геометричний зміст: дотична до графіка функції y=f(х) у точці, що задовольняє умовам теореми Ферма, паралельна осі абсцис (Рис 2.1) [1,c.62]

Рис. 2.1. Теорема Ферма.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Точка, у яких похідна функції перетворюється в нуль або не існує, називаються критичними точками (першого роду).

Приклад 1. Похідна функції f(x) = х² у крапці х₀=0 перетворюється в нуль , як видно з мал. (Рис 2.2), у цій точці дана функція має екстремум (мінімум). Теорема Ферма дає лише необхідну умову існування екстремуму, але не достатнє.

Приклад 2. Похідна функції f(x) = х³ у крапці х₀ = 0 перетворюється в нуль, а екстремуму в цій точці функція не має (Рис 2.3) Як показують наступні приклади, і в тих критичних крапках, у яких похідна не існує, функція також може мати або не мати екстремум.

Приклад 3. Функція f(x)=точці х₀ = 0 не має похідної (Рис 2.3). Однак, як видно з мал. 4.3в, у точці x₀ = 0 вона має екстремум (мінімум).

Приклад 4. Розглянемо функцію f(x)= (Рис. 2.4). За графіком видно, що в точці х₀ = 0 дана функція екстремуму не має. Похідна у розглянутій точці не існує.

Таким чином, екстремум функції, якщо він існує, може бути тільки в критичних точках. Однак не у всякій критичній точці функція має екстремум. Щоб зясувати, у яких критичних точках функція має екстремум, розглянемо достатні умови існування екстремуму.

Рис. 2.3 Рис 2.4