1.2 Необхідна і достатня умови зростання і спадання функцій

Перейдемо тепер до розгляду зростаючих й спадаючих функцій. Ми сформулюємо необхідні й достатні умови зростання й убування функцій на деякому інтервалі.

Необхідна умова зростання функції. Якщо диференційована функція y=f(x), х є (а;b), зростає на інтервалі (а;b), то f(х₀) 0 для будь-якого х₀ є (а;b).

З визначення зростаючої функції маємо: для будь-яких x₀ є (а;b), x є (а,b)з х > х₀ витікає, що f(x) >f(x₀). а з х < х₀ витікає, що f(x)>f(x₀).

В обох випадках , а отже, , f(x₀)

Необхідна умова спадання функції. Якщо диференційована функція y=f(x), х є (а;Ь), спадає на інтервалі (а;Ь), то f(x₀), для будь-якого х₀ є (а;b).

Доказ цього твердження аналогічно попередньому. Достатні ознаки монотонності функції випливають із наступних двох тверджень, які ми приводимо без доказу.

Достатня умова зростання функції. Якщо функція,y=f(x), х є (а;b), має позитивну похідну в кожній точці інтервалу (а;b), то ця функція зростає на інтервалі (а;b).

Рис. 1. Зростання та спадання ф-цій.

Достатня умова спадання функції. Якщо функція y=f(x), х є(а;b), має негативну похідну в кожній точці інтервалу (а;b), то ця функція спадна на інтервалі (а;b).

Проілюструємо ці умови на мал. 4.1а, на якому наведена функція, що зростає в інтервалах -< х < х₂і х₄< х< + йспадна в інтерваліх₂< х < х_4.