2.4.1.1 Парная линейная регрессия

Парная линейная регрессия наиболее часто применяется в регрессионных моделях, в силу простоты расчета и интерпретирования результатов.

Расчет регрессионной модели данного вида заключается в нахождении уравнения вида:

(29)

или (30)

где;

- теоретическое значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии, показывающему взаимосвязь между и.

- фактическое значение результативного признака.

- случайная величина (возмущение, шум)

(31)

Показывает влияние не учтенных в модели факторов, а также случайных ошибок.

- параметры уравнения.

Решение уравнения регрессии заключается в расчете его параметров. Наибольшее распространение из методов расчета параметров уравнения получил метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получать такие значения , которые минимизируют сумму квадратов отклонений фактических значений от теоретических .

(32)

При расчете параметров уравнения при помощи МНК необходимо решить систему из двух нормальных уравнений.

(33)

Также используют и готовые уравнения.

Для расчета параметра :

; так как получим:

или (34)

где: (35)

(36)

Для расчета параметра :

(37)

Параметр - это теоретическое значение результативного признака при и только в этом случае имеет экономический смысл, если параметр экономического смысла не имеет. В геометрическом представлении означает координату точки пересечения линии регрессии с осью ординат.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц, в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на одну единицу. Например, если уравнение регрессии имеет вид:

где прибыль млн. руб. в месяц, а затраты на маркетинг тыс. руб. в месяц. Можно сказать, что при дополнительных затратах на маркетинг на 1 тыс. руб. прибыль в среднем возрастет на 0,02 млн. руб.

Геометрически это тангенс угла наклона прямой регрессии .

Пример 7. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли (табл. 21).

Построить линейное уравнение регрессии.

Таблица 21.

Решение. Для расчета параметров уравнения регрессии используем МНК. МНК в данном случае дает систему уравнений:

1. Рассчитаем, в таблице 22, все возможные значения и подставим в систему.

После подстановки данных получим систему:

1) Решим систему методом исключения параметра . Для этого первое уравнение разделим на 15, а второе на 25,10.

Далее из второго уравнения вычтем первое

Рассчитаем коэффициент регрессии:

.

Подставим значение в первое уравнение системы и рассчитаем параметр .

Таблица 22

2. Рассчитаем параметры уравнения , используя готовые уравнения.

Небольшие расхождения в расчете параметров разными методами объясняются ошибками округления.

Подставим полученные значения (возьмем значения полученные в Microsoft Excel, как наиболее точные. см. далее ) в уравнение регрессии .

Коэффициент парной линейной регрессии показывает, что при увеличении фактора - «затраты на рекламу» на 1 единицу (1 млн. руб.), результат - «средняя прибыль» увеличится, в среднем на 1,180332 млн. руб.

Далее подставляя значения фактора в уравнение регрессии, рассчитаем теоретические значения , занесем их в последний столбик таблицы 22.

2) Рассмотрим решение данной задачи в Microsoft Excel.

Первое. В новой книге Microsoft Excel внесем исходные данные (рис 1).

Рисунок 1.

Далее нажимаем кнопку Сервис и в открывшейся панели нажимаем кнопку Анализ данных.

В панели Анализ данных нажимаем Регрессия:

В панели регрессия вводим входной интервал , выделяя столбик, содержащий данные результативного признака, и входной интервал , выделяя столбик, содержащий данные фактора. Ответ можно поместить на новом рабочем листе, в новой рабочей книге, или на листе, содержащем условия выбирая выходной интервал, для чего указываем графа-клетку начала размещения ответа (рис 2).

Рисунок 2.

Нажимаем ОК. Появится таблица, содержащая результаты регрессионного анализа (рис 3).

Рисунок 3.

Параметр в данной таблице находится на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Y-пересечение», параметр - на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Переменная Х1».