Вывод

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод - это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.

Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.

Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.

Задача 1

Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:

Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х₁ - количество продукции вида А;

х₂ - количество продукции вида В.

Строим математическую модель:

F_мах = 5х₁ + 32х₂ при условиях:

3х₁ + 5х₂ ? 15;

5х₁ + 2х₂ ? 10.

х₁ ? 0, х₂ ? 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическим методом запишем граничные прямые:

1) 3х₁ + 5х₂ = 15;

2) 5х₁ + 2х₂ = 10.

Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:

1) х₂ = 0; х₁ = 5; х₁ = 0; х₂ = 3;

2) х₂ = 0; х₁ = 2; х₁ = 0; х₂ = 5.

ОДЗ - многоугольник ОАВСD.

Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат - это точка А(0;3) в ней х_опт.

Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

F_mах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.

Задача 2

Фирма дополнительно освоила выпуск продукции четырех видов В₁, В₂, В₃, В₄. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А₁, А₂, А₃, А₄, которое фирма может ежемесячно покупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, которое необходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а также ежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.

Построить математическую модель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должна производить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х₁ - количество продукции типа В₁;

х₂ - количество продукции типа В₂;

х₃ - количество продукции типа В₃;

х₄ - количество продукции типа В₄.

Строим математическую модель задачи:

F_mах = 8х₁ + 10х₂ + 12х₃ + 18х₄

при условиях:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ ? 2110;

2х₁ + 2х₂ + 0*х₃ + 6х₄ ? 1810;

0*х₁ + х₂ + х₃ + 2х₄ ? 1440;

х₁ + 0*х₂ + х₃ + 0*х₄ ? 1120.

х_j ? 0; j = 1,4.

Приводим систему ограничений к каноническому виду:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ + х₅ = 2110;

2х₁ + 2х₂ + 6х₄ + х₆ = 1810;

х₂ + х₃ + 2х₄ + х₇ = 1440;

х₁ + х₃ + х₈ = 1120.

х_j ? 0; j = 1,8.

Приводим систему ограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичного базиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямым симплекс-методом.

Ответ: F_mах = 7840 ед. стоимости; х_опт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

Для получения прибыли равной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого и третьего вида в количествах:

В₁ = 905 ед.;

В₃ = 50 ед.,

При этом остались недоиспользованные ресурсы в количествах:

А₃ = 1390 ед.

А₄ = 165 ед.

Задача 3

Для откорма группы животных на ферме необходимо наличие в ежедневном рационе не менее как В₁, единиц питательных веществ В₂ и т.д. - не менее как В_m. Указанные питательные вещества содержатся в n разных кормовых продуктах, которые можно закупить.

Составить такой ежедневный кормовой рацион, при котором будет удовлетворена потребность в питательных и затраты на откорм будут минимальны.

Составить математическую модель и решить ЗЛП.

Решение

Введем переменные:

х₁ - количество кормового продукта В₁

х₂ - количество кормового продукта В₂

х₃ - количество кормового продукта В₃

х₄ - количество кормового продукта В₄

Строим математическую модель:

F_mах = 2х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄

при условиях:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ ? 155;

3х₂ + х₃ + х₄ ? 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ ? 126;

х_j ? 0; j = 1,4.

Приведем систему ограничений к каноническому виду:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ - х₅ = 155;

3х₂ + х₃ + х₄ - х₆ = 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ - х₇ = 126;

х_j ? 0; j = 1,7.

Приведем систему ограничений к виду удобному для решения:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ - х₅ + х₈ = 155;

3х₂ + х₃ + х₄ - х₆ + х₉ = 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ - х₇ + х₁₀ = 126;

х_j ? 0; j = 1,10.

Переменные х₈, х₉, х₁₀ являются искусственными и они введены на знак «=», поэтому для корректировки задачи эти переменные вводят в целевую функцию с коэффициентом +М.

F_min = 2х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ + Мх₈ + Мх₉ + Мх₁₀.

Задача решается модифицированным симплекс-методом (метод искусственного базиса).

Каждый опорный план проверяем на оптимальность.

В 5-м опорном плане в индексной строке все разности F_j - С_j ? 0, следовательно этот план является оптимальным (F>min).

Можно записать ответ:

F_min = 126 ед.стоимости,

Х_опт = (97/3 = 32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).

Для получения минимальной себестоимости на изготовление кормовой продукции равной 126 ед. ст. необходимо включить в план кормовые продукты 1-го В₁ = 32,33 ед. и второго вида В₂ = 61,33 ед. и остались недоиспользованы ресурсы по А₃ в количестве 54 ед.

Задача 4

С четырех карьеров к трем керамическим заводам перевозят глину.

Сделать математическую постановку задачи и спланировать перевозку глины на керамические заводы так, чтобы транспортные затраты были минимальны.

Решение

Данная задача относится к типу транспортных задач линейного программирования и её математическая модель в сокращенной форме записи будет выглядеть так:

m n

S_min = ? ? C_ij Х_ij,

i=1 j=1

при условиях по ресурсам:

n

? х_ij = А_i,, i = 1,m

j=1

m

? х_ij = В_j, j = 1,n

i=1

х_ij ? 0; i = 1,m; j = 1,n.

Существует два вида моделей:

m n

закрытая ? А_i = ? В_j;

i=1 j=1

m n

открытая ? А_i ? ? В_j.

i=1 j=1

Если в условии задачи дана открытая модель, то её нужно привести к закрытой, путем введения фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозок, но ноль считается как максимально большое число. Закрытую модель можно решить методом потенциалов.

Проверяем в данной задаче тип модели:

? А_i = 217; ? В_j = 217.

Строим первый опорный план по правилу минимального элемента:

Далее делается проверка системы ограничений:

n m =

? х_ij = А_i,, ? х_ij = В_j,

j=1 i=1

убеждаемся, что все ресурсы распределены и потребители удовлетворены максимальным образом.

Проверяем план на вырожденность: количество заполненных клеток должно быть равно: m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.

Считаем стоимость перевозок:

S_min = 15*32 + 6*22 + 4*47 + 5*92 + 9*52 + 12*32 = 1812.

Так как неизвестно, является ли этот план оптимальным, т.е. стоимость перевозок = 1812 ед.ст. или её можно уменьшить, то проверим каждую свободную клетку на оптимальность, а для этого необходимо найти потенциалы U и V, они находятся для заполненных клеток по формуле:

С_ij = U_i + V_j, х_ij > 0.

После чего проверяем свободные клетки на оптимальность по формуле:

S_ij = С_ij - (U_i + V_j) ? 0.

Оказалось, что одна клетка не оптимальна S₄₁ = -6.

Ставим в эту клетку +? - это величина для перераспределения ресурсов. От этой клетки строим цикл пересчета - это многоугольник любой конфигурации с прямыми циклами, расположенными в заполненных клетках. По углам этого цикла (прямоугольника) ставим +? и -?, чтобы был баланс по строкам и столбцам.

Определяем величину перераспределения груза (ресурсов):

? = min {32;52} = 32.

Строим новый опорный план:

и весь алгоритм повторяется снова:

S_min 2 = 6*54 + 4*47 + 5*32 + 12*32 + 9*20 + 12*32 = 324 + 188 + 160 + 384 +180+ + 384 = 1620.

Все S_ij ? 0, следовательно 2-й опорный план является оптимальным.

Ответ: минимальная стоимость перевозок равна 1620 ед. стоимости.

Поставки глины: х₁₂ = 54 т; х₂₁ = 47 т; х₃₃ = 32 т; х₄₁ = 32 т; х₄₂ = 20 т; х₄₃ = 32 т.

Список литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Архангельский Ю.С., Коваленко И.И. Межотраслевой баланс. - К.: Выща шк. Головное изд-во, 1988.

3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

4. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. - М.: Наука, 1980

5. Вивальнюк Л.М. Елементи лінійного програмування. - К.: Вища школа, 1975.

6. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. - М.: ИЛ, 1963.

7. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование (теория, методы и приложения). - М.: Наука, 1969.

8. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и приложения. - М.: Прогресс, 1966.

9. Деордица Ю.С., Нефедов Ю.М. Исследование операцій в планировании и управлении. - К.: Вища школа, 1991.

10. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1972.

11. Зайченко Ю.П. Исследование операций. - К.: Вища школа, 1979.

12. Исследование операций. / Под ред. Н.С. Кремера. - М.: Бизнес и банки, ЮНИТИ, 1997.

13. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1980.

14. Карпелевич Ф.М., Садовский Л.Е. Математическое программми-рование. - И.: Наука, 1967.

15. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984.

16. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2006.

17. Математические методы и модели в планировании и управлении. Сборник задач. К.: Вища школа, 1985.

18. Терехов Л.Л., Куценко В.А.Ж, Сиднев С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. - К.: Вища школа, 1984.