Балансовый метод планирования

контрольная работа

2.2 Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А ? 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ? 0 существует решение х ? 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:

(Е - А)х = у, (2.5)

где Е - единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А. Понятно, что если обратная матрица (Е - А)-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е - А)-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ? 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е - А)х = е1, (Е - А)х = е2, …, (Е - А)х = еn ,

Где е1, е2, …, еn - столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с1 ? 0, с2 ? 0, …, сn ? 0, что

(Е - А)с1 = е1, (Е - А)с2 = е2, …, (Е - А)сn = еn (2.7)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1 с 2, …, с n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е - А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ? 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ? 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса рТА и учитывая, что

рТАА = ?АрТА, (2.8)

получим

? А ТА х) + рТА у = рТА х,

или

(1 - ?А)(рТА х) = рТА у.

Так как рТА ? 0 и у ? 0, х ? 0, то рТАу > 0, рТАх > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что ?А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса ?А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ? 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

а11 а12 … а1n у1

а21 а22 … а2n у2

А = …………….

аn1 аn2 … аnn уn

0 0 … 0 1

Где аij - элементы матрицы А и у1, …, уn - координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева на вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

рТА = рТ.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор ? = 1.

Пусть вектор Х = (х1 , …, хn , хn+1 ) = (х , хn+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = ?Х. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у х = ? х

0 1 хn+1 хn+1

или

Ах + у хn+1 = ?х,

хn+1 = ? хn+1. (2.9)

Если ? ? 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что хn+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = ?х. Следовательно, ? - собственное значение матрицы А и, по нашему предположению |?| < 1. Таким образом, ?А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = ( хА , хn+1), соответствующий ?А =1. Очевидно, что хn+1 ? 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса ?А < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид

АхА + у = хА.

Поскольку хА = (хА, хn+1) ? 0, то хА ? 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что ?А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Е + А + А? + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е - А)-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.

Делись добром ;)