Балансовый метод планирования
2.2 Продуктивные модели Леонтьева
Определение. Матрица А ? 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ? 0 существует решение х ? 0 уравнения
х = Ах + у (2.4)
В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.
Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:
(Е - А)х = у, (2.5)
где Е - единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А. Понятно, что если обратная матрица (Е - А)-1 существует, то из (2.5) вытекает
х = (Е - А)-1 у. (2.6)
Теорема 1 (первый критерий продуктивности).
Матрица А ? 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна.
Доказательство.
Если матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.
Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:
(Е - А)х = е1, (Е - А)х = е2, …, (Е - А)х = еn ,
Где е1, е2, …, еn - столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с1 ? 0, с2 ? 0, …, сn ? 0, что
(Е - А)с1 = е1, (Е - А)с2 = е2, …, (Е - А)сn = еn (2.7)
Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1 с 2, …, с n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:
(Е - А)С = Е.
Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ? 0.
Теорема доказана.
Теорема 2 (второй критерий продуктивности).
Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.
Доказательство.
Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ? 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса рТА и учитывая, что
рТАА = ?АрТА, (2.8)
получим
? А (рТА х) + рТА у = рТА х,
или
(1 - ?А)(рТА х) = рТА у.
Так как рТА ? 0 и у ? 0, х ? 0, то рТАу > 0, рТАх > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что ?А < 1.
Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса ?А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ? 0.
Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):
а11 а12 … а1n у1
а21 а22 … а2n у2
А = …………….
аn1 аn2 … аnn уn
0 0 … 0 1
Где аij - элементы матрицы А и у1, …, уn - координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:
А = А у
0 1
Умножая эту матрицу слева на вектор рТ = (0, …, 0,1), легко убедиться, что
рТА = рТ.
Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор ? = 1.
Пусть вектор Х = (х1 , …, хn , хn+1 ) = (х , хn+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = ?Х. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что
А у х = ? х
0 1 хn+1 хn+1
или
Ах + у хn+1 = ?х,
хn+1 = ? хn+1. (2.9)
Если ? ? 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что хn+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = ?х. Следовательно, ? - собственное значение матрицы А и, по нашему предположению |?| < 1. Таким образом, ?А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = ( хА , хn+1), соответствующий ?А =1. Очевидно, что хn+1 ? 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса ?А < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1. В силу того, что хn+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид
АхА + у = хА.
Поскольку хА = (хА, хn+1) ? 0, то хА ? 0.
Следовательно, матрица А продуктивна.
Следствие.
Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.
Доказательство.
Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что ?А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.
Теорема 3 (третий критерий продуктивности).
Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд
Е + А + А? + … (2.10)
Доказательство.
Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е - А)-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.
Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.