7.2 Пример 2

Мебельная фабрика изготавливает диваны двух видов - раскладные и угловые. Для производства диванов используют два вида сырья - дерево и ДСП. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 900 и 730 единиц соответственно. Расход сырья на один раскладной диван и один угловой диван приведен в таблице 8.7.

Таблица 7.2

аналитический оптимизация симплекс управленческий

Кроме того, известно, что минимальный спрос на раскладные диваны равен 20 ед. в сутки.

Прибыль от продажи одного дивана равна: 6 д. е. - для угловых диванов и 4 д.е. для раскладных.

Какое количество диванов каждого вида должна производить фабрика, чтобы прибыль от продажи диванов был максимальным?

Решение:

- количество угловых диванов;

- количество раскладных диванов;

Составим математическую модель задачи. Введем ограничения.

Ограничение на использование дерева при производстве диванов:

Ограничение на использование ДСП при производстве диванов:

Ограничение на спрос раскладных диванов:

Все переменные в данной задаче неотрицательны и целочисленные:

, ?0, целые.

Составим целевую функцию:

- это прибыль фабрики, которую необходимо максимизировать.

Таким образом, математическая модель имеет вид:

, ?0, целые

Решив задачу симплекс-методом, получим: , , .Получено оптимальное решение (отсутствуют отрицательные элементы в строке целевой функции). Однако это оптимальное решение без учета условия целочисленности. Решим данную задачу с учетом этого условия.

Используем метод ветвей и границ. Выбираем переменную , принявшую дробное значение. Вместо исходной задачи составляем две новые. В одну из них вводится ограничение (задача 2), а во вторую вводится ограничение (задача 3).

Смысл этих ограничений:

- Эти ограничения исключают из области допустимых решений найденное оптимальное, но дробное решение.

- Эти ограничения не исключают из области допустимых решений ни одного целочисленного значения.

Задачи 2 и 3 включаются в список решаемых задач.

Получено оптимальное целочисленное решение (отсутствуют отрицательные элементы в строке целевой функции): , ; ; ; . Это означает, что при производстве 52 угловых диванов и 20 раскладных максимальная прибыль составит 392 ден.ед.

Остаточная переменная означает, что при производстве диванов останутся неиспользованными 436 т дерева. Остаточная переменная означает, что при производстве диванов останутся неиспользованными 2 т ДСП. Избыточная переменная означает, что будет выпущено ровно 20 раскладных диванов (минимально возможное количество).