Аналіз поведінки системи, що описана моделлю динаміки ринкового середовища за різних співвідношень вхідних параметрів

курсовая работа

1.3 Дослідження моделі динаміки ринкового середовища за допомогою біфуркаційної діаграми

Початкова система є нелінійною, тому для її розвязання необхідно виконати лінеаризацію.

Виконаємо лінеаризацію на основі Якобіана. Для цього складемо матрицю Якобі:

J = (1.12)

J = (1.13)

Побудувавши матрицю Якобі підставимо в неї замість значень q та p координати особливих точок і отримаємо матриці J1, J2, J3:

J1 = (1.14)

J2 = (1.15)

J3 = (1.16)

Знайдемо значення ? та д для матриці J1 у символьному вигляді.

? = C - Cs, д = C(s - 1) - 1.

Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.

Визначимо можливі точки біфуркації.

Оскільки, відповідно до системи 1.9, змінні C та s завжди додатні, а s < 1 то у виразі ? = C - Cs перший доданок завжди більший другого тому вираз завжди більше 0. У виразі д = C(s - 1) - 1 другий множник завжди відємний тому д завжди менше нуля. Розглянемо можливі точки біфуркації при цих умовах:

1) ? = , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вироджений вузол”.

Необхідна умова: C - Cs = :

4C(1 - s) =

+ 4C(s - 1) = 0

- 2C(s - 1) + 1 + 4C(s - 1) = 0

+ 2C(s - 1) + 1 = 0

= 0

C = ;

2) 0 < ? < , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вузол”.

Необхідна умова: C - Cs < :

4C(1 - s) <

+ 4C(s - 1) > 0

- 2C(s - 1) + 1 + 4C(s - 1) > 0

+ 2C(s - 1) + 1 > 0

> 0

Для цієї умови підходять будь-які значення змінних крім попередньої - C = , тому подальших змін точки біфуркації не буде.

Таблиця 1.1 - Тип особливої точки в залежності від значень tr і det

Тип особливої точки

Співвідношення параметрів

Стійкий вироджений вузол

C =

Стійкий вузол

C > 0, 0 < s < 1,

C ?

Знайдемо значення ? та д для матриці J2 у символьному вигляді:

? = +

,

д=

.

Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.

Визначимо можливі точки біфуркації.

Керуючись системою обмежень 1.9 та враховуючи необхідні умови економічної сутності задамо значення деяких змінних: a=-2, b=300, С = 10, c=100, а значення коефіцієнта регулювання за відхиленням x та мултиплікатор накопичення s будемо визначати залежно від умов точки біфуркації.

Підставимо значення змінних:

? = -+

д = .

? = (1 - s)(4980x - 10),

д = 9 - 10s.

1) ? < 0. Фазовий портрет - “Сідло”.

Необхідна умова:

(1 - s)(4980x - 10) < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник менше нуля при x < 0.002. При цих умовах вираз буде відємний.

2) ? > 0, д = 0. Фазовий портрет - “Центр”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.

Друга умова:

9 - 10s = 0

s = 0.9.

3) ? = 0, д ? 0. Фазовий портрет - “Пряма на фазовій площині”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник дорівнює нулю при x = 0.002. При цих умовах вираз дорівнює нулю.

Друга умова:

9 - 10s ? 0

s ? 0.9.

4) ? = , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вироджений вузол”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) =

4(1 - s)(4980x - 10) - = 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 = 0

x(19920 - 19920s) = 100 - 220s + 121

x =

Друга умова:

9 - 10s < 0

s > 0.9.

5) ? = , д > 0. Фазовий портрет - “ Нестійкий вироджений вузол”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) =

4(1 - s)(4980x - 10) - = 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 = 0

x(19920 - 19920s) = 100 - 220s + 121

x =

Друга умова:

9 - 10s > 0

s < 0.9.

6) 0 < ? < , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вузол”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.

Друга умова:

(1 - s)(4980x - 10) <

4(1 - s)(4980x - 10) - < 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 < 0

x(19920 - 19920s) < 100 - 220s + 121

x <

Третя умова:

9 - 10s < 0

s > 0.9.

7) 0 < ? < , д > 0. Фазовий портрет - “Нестійкий вузол”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.

Друга умова:

(1 - s)(4980x - 10) <

4(1 - s)(4980x - 10) - < 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 < 0

x(19920 - 19920s) < 100 - 220s + 121

x <

Третя умова:

9 - 10s > 0

s < 0.9.

8) ? > , д < 0. Фазовий портрет - “ Стійкий фокус”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) >

4(1 - s)(4980x - 10) - > 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 > 0

x(19920 - 19920s) > 100 - 220s + 121

x >

Друга умова:

9 - 10s < 0

s > 0.9.

9) ? > , д > 0. Фазовий портрет - “ Нестійкий фокус”.

Перша умова:

(1 - s)(4980x - 10) >

4(1 - s)(4980x - 10) - > 0

19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 > 0

x(19920 - 19920s) > 100 - 220s + 121

x >

Друга умова:

9 - 10s > 0

s < 0.9.

Таблиця 1.2 - Тип особливої точки залежності від значень tr і det

Тип особливої точки

Співвідношення параметрів

Сідло

x < 0.002

Центр

x > 0.002, s = 0.9

Пряма на фазовій площині

x = 0.002, s ? 0.9

Стійкий вузол

x < ,

x > 0.002, s > 0.9

Нестійкий вузол

x < ,

x > 0.002, s < 0.9

Стійкий вироджений вузол

x = ,

s > 0.9

Нестійкий вироджений вузол

x = ,

s < 0.9

Стійкий фокус

x >

s > 0.9

Нестійкий фокус

x >

s < 0.9

Знайдемо значення ? та д для матриці J3 у символьному вигляді.

? = +

д=.

Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.

Визначимо можливі точки біфуркації.

Керуючись системою обмежень 1.9 та враховуючи необхідні умови економічної сутності задамо значення деяких змінних: a=-2, b=300, С = 10, c=100, а значення коефіцієнта регулювання за відхиленням x та мултиплікатор накопичення s будемо визначати залежно від умов точки біфуркації.

Підставимо значення змінних:

? = -+

д=

? =10s - 10,

д = 9 - 10s.

1) ? < 0. Фазовий портрет - “Сідло”.

Необхідна умова:

10s - 10 < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший доданок завжди менший за другий. Отже при будь-яких допустимих значеннях s та x вираз буде відємний, тому подальших змін точки біфуркації не буде.

Таблиця 1.3 - Тип особливої точки в залежності від значень tr і det

Тип особливої точки

Співвідношення параметрів

Сідло

0 < s < 1,

0 < x < 1

Делись добром ;)