Аналіз поведінки системи, що описана моделлю динаміки ринкового середовища за різних співвідношень вхідних параметрів
1.3 Дослідження моделі динаміки ринкового середовища за допомогою біфуркаційної діаграми
Початкова система є нелінійною, тому для її розвязання необхідно виконати лінеаризацію.
Виконаємо лінеаризацію на основі Якобіана. Для цього складемо матрицю Якобі:
J = (1.12)
J = (1.13)
Побудувавши матрицю Якобі підставимо в неї замість значень q та p координати особливих точок і отримаємо матриці J1, J2, J3:
J1 = (1.14)
J2 = (1.15)
J3 = (1.16)
Знайдемо значення ? та д для матриці J1 у символьному вигляді.
? = C - Cs, д = C(s - 1) - 1.
Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.
Визначимо можливі точки біфуркації.
Оскільки, відповідно до системи 1.9, змінні C та s завжди додатні, а s < 1 то у виразі ? = C - Cs перший доданок завжди більший другого тому вираз завжди більше 0. У виразі д = C(s - 1) - 1 другий множник завжди відємний тому д завжди менше нуля. Розглянемо можливі точки біфуркації при цих умовах:
1) ? = , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вироджений вузол”.
Необхідна умова: C - Cs = :
4C(1 - s) =
+ 4C(s - 1) = 0
- 2C(s - 1) + 1 + 4C(s - 1) = 0
+ 2C(s - 1) + 1 = 0
= 0
C = ;
2) 0 < ? < , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вузол”.
Необхідна умова: C - Cs < :
4C(1 - s) <
+ 4C(s - 1) > 0
- 2C(s - 1) + 1 + 4C(s - 1) > 0
+ 2C(s - 1) + 1 > 0
> 0
Для цієї умови підходять будь-які значення змінних крім попередньої - C = , тому подальших змін точки біфуркації не буде.
Таблиця 1.1 - Тип особливої точки в залежності від значень tr і det
Тип особливої точки |
Співвідношення параметрів |
|
Стійкий вироджений вузол |
C = |
|
Стійкий вузол |
C > 0, 0 < s < 1, C ? |
Знайдемо значення ? та д для матриці J2 у символьному вигляді:
? = +
,
д=
.
Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.
Визначимо можливі точки біфуркації.
Керуючись системою обмежень 1.9 та враховуючи необхідні умови економічної сутності задамо значення деяких змінних: a=-2, b=300, С = 10, c=100, а значення коефіцієнта регулювання за відхиленням x та мултиплікатор накопичення s будемо визначати залежно від умов точки біфуркації.
Підставимо значення змінних:
? = -+
д = .
? = (1 - s)(4980x - 10),
д = 9 - 10s.
1) ? < 0. Фазовий портрет - “Сідло”.
Необхідна умова:
(1 - s)(4980x - 10) < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник менше нуля при x < 0.002. При цих умовах вираз буде відємний.
2) ? > 0, д = 0. Фазовий портрет - “Центр”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.
Друга умова:
9 - 10s = 0
s = 0.9.
3) ? = 0, д ? 0. Фазовий портрет - “Пряма на фазовій площині”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник дорівнює нулю при x = 0.002. При цих умовах вираз дорівнює нулю.
Друга умова:
9 - 10s ? 0
s ? 0.9.
4) ? = , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вироджений вузол”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) =
4(1 - s)(4980x - 10) - = 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 = 0
x(19920 - 19920s) = 100 - 220s + 121
x =
Друга умова:
9 - 10s < 0
s > 0.9.
5) ? = , д > 0. Фазовий портрет - “ Нестійкий вироджений вузол”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) =
4(1 - s)(4980x - 10) - = 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 = 0
x(19920 - 19920s) = 100 - 220s + 121
x =
Друга умова:
9 - 10s > 0
s < 0.9.
6) 0 < ? < , д < 0. Фазовий портрет - “Стійкий вузол”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.
Друга умова:
(1 - s)(4980x - 10) <
4(1 - s)(4980x - 10) - < 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 < 0
x(19920 - 19920s) < 100 - 220s + 121
x <
Третя умова:
9 - 10s < 0
s > 0.9.
7) 0 < ? < , д > 0. Фазовий портрет - “Нестійкий вузол”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) > 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший множник завжди більше нуля. Оскільки 0 < х < 1 то другий множник більше нуля при x > 0.002. При цих умовах вираз буде додатний.
Друга умова:
(1 - s)(4980x - 10) <
4(1 - s)(4980x - 10) - < 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 < 0
x(19920 - 19920s) < 100 - 220s + 121
x <
Третя умова:
9 - 10s > 0
s < 0.9.
8) ? > , д < 0. Фазовий портрет - “ Стійкий фокус”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) >
4(1 - s)(4980x - 10) - > 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 > 0
x(19920 - 19920s) > 100 - 220s + 121
x >
Друга умова:
9 - 10s < 0
s > 0.9.
9) ? > , д > 0. Фазовий портрет - “ Нестійкий фокус”.
Перша умова:
(1 - s)(4980x - 10) >
4(1 - s)(4980x - 10) - > 0
19920x - 40 - 11920sx + 40s - 81 +180s -100 > 0
x(19920 - 19920s) > 100 - 220s + 121
x >
Друга умова:
9 - 10s > 0
s < 0.9.
Таблиця 1.2 - Тип особливої точки залежності від значень tr і det
Тип особливої точки |
Співвідношення параметрів |
|
Сідло |
x < 0.002 |
|
Центр |
x > 0.002, s = 0.9 |
|
Пряма на фазовій площині |
x = 0.002, s ? 0.9 |
|
Стійкий вузол |
x < , x > 0.002, s > 0.9 |
|
Нестійкий вузол |
x < , x > 0.002, s < 0.9 |
|
Стійкий вироджений вузол |
x = , s > 0.9 |
|
Нестійкий вироджений вузол |
x = , s < 0.9 |
|
Стійкий фокус |
x > s > 0.9 |
|
Нестійкий фокус |
x > s < 0.9 |
Знайдемо значення ? та д для матриці J3 у символьному вигляді.
? = +
д=.
Маючи ? та д визначимо необхідні значення змінних для знаходження точок біфуркації.
Визначимо можливі точки біфуркації.
Керуючись системою обмежень 1.9 та враховуючи необхідні умови економічної сутності задамо значення деяких змінних: a=-2, b=300, С = 10, c=100, а значення коефіцієнта регулювання за відхиленням x та мултиплікатор накопичення s будемо визначати залежно від умов точки біфуркації.
Підставимо значення змінних:
? = -+
д=
? =10s - 10,
д = 9 - 10s.
1) ? < 0. Фазовий портрет - “Сідло”.
Необхідна умова:
10s - 10 < 0. Оскільки 0 < s < 1 то перший доданок завжди менший за другий. Отже при будь-яких допустимих значеннях s та x вираз буде відємний, тому подальших змін точки біфуркації не буде.
Таблиця 1.3 - Тип особливої точки в залежності від значень tr і det
Тип особливої точки |
Співвідношення параметрів |
|
Сідло |
0 < s < 1, 0 < x < 1 |