2.2 Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)

Теперь можно сформулировать утверждение о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теорема 2. Пусть - оптимальный управляемый процесс в исходной задаче оптимального управления. Тогда найдутся не равные нулю одновременно число и вектор - функция

такие, что выполняются следующие соотношения

1. Сопряженное уравнение

(2.2.14)

при

2.Условие трансверсальности

(2.2.15)

при

3. Условие максимума функции Понтрягина

(2.2.16)

при

Доказательство.

Применим теорему 1 к поставленной задаче оптимального управления. Для получения соотношений (2.2.5), (2.2.6), (2.2.8) определим необходимые вспомогательные объекты. Заметим предварительно, что в поставленной задаче .

Для нахождения матрицы частных производных воспользуемся соотношениями (2.2.12).

Получим

(2.2.17)

(2.2.18)

(2.2.19)

Равенства (2.2.17)-(2.2.19) задают элементы матрицы частных производных В сопряженном уравнении (2.2.5) фигурирует объект , который представляет собой транспонированную матрицу частных производных .

Из (2.2.17), (2.2.18), (2.2.19) получаем

(2.2.20)

Где транспонированная матрица .

Для нахождения вектора частных производных

воспользуемся равенством (2.2.9). Имеем

(2.2.21)

Тогда из соотношения (2.2.5) с учетом (2.2.20) ,(2.2.21) и условия получаем систему уравнений

(2.2.22)

Система дифференциальных уравнений относительно функций представляет собой систему сопряженных уравнений в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теперь найдем условия трансверсальности в рассматриваемой задаче оптимального управления. Заметим, что функция определяющая терминальный член целевого функционала, предполагается аналитически заданной. Но тогда можно считать, что заданы и частные производные этой функции, а именно:

(2.2.23)

Теоретическая часть условий трансервальности для данного вида задач имеет вид (2.2.6). Как уже отмечалось, для данного вида задач с фиксированным временем и закрепленным левым концом траектории можно считать множитель Лагранжа (рассматриваемая задача на максимум). Правая часть соотношений (2.6) образуется при подстановке в производные, терминальной функции (2.23), предполагаемые заданными, значений аргументов

Таким образом, получаем из (2.2.6)

(2.2.24)

Полученные соотношения (2.2.24) определяют, что граничные условия для функций в точке которые являются решениями системы дифференциальных уравнений (2.2.22) заданы и выражаются явно через значения основных функций (состояний) .

Условия трансверсальности установлены.

Теперь выпишем условие максимума. Для этого необходимо найти явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления. Теоретическая форма функции Понтрягина в классической задаче оптимального управления (2.2.1) - (2.2.4) имеет вид

Явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления определяется формулой (2.2.13). Заметим, что объекты, входящие в формулу (2.2.13), имеют следующий характер:

вектор - функция сопряженных переменных (сопряженная функция); по содержанию она представляет собой множитель Лагранжа, соответствующий ограничению дифференциальной связи исходнй задачи оптимального управления;

вектор - функция, описывающая состояние системы в произвольный момент времени

скалярная функция, описывающая управление системой в произвольный момент времени

Воспользуемся общей теоретической формой принципа максимума (2.2.8). Тогда для рассматриваемой задачи оптимального управления получаем условие максимума в следующем виде

(2.25)

при

Условие максимума установлено. Теорема 2 доказана.