Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

курсовая работа

2.1 Теоретическая форма принципа максимума (теорема 1)

Известен следующий результат в теории оптимального управления, который носит название принципа максимума Понтрягина.

  • Теорема 1.
  • Пусть - оптимальный управляемый процесс в задаче (2.2.1) - (2.2.4). Тогда найдутся не равные нулю одновременно множитель Лагранжа такие, что выполняются следующие соотношения:
  • 1)

    система сопряженных уравнений; (2.2.5)

    2)

    3)

    условие трансверсальности в точке ; (2.2.6)

    4)

    5)

    условие максимума функции Понтрягина. (2.2.7)

    Заметим, что соотношение (2.2.7) можно записать в виде

    (2.2.8)

    Соотношения (2.2.7) и (2.2.8) имеют следующий смысл: функция Понтрягина достигает максимума по аргументу на множестве допустимых управлений при , то есть на оптимальном значении управления, при условии, что все остальные аргументы являются фиксированными. Условия (2.2.7) и (2.2.8) выполняются во всех точках непрерывности функции , то есть при всех , кроме, быть может, точек разрыва (скачков) функции оптимального управления .

    Можно доказать, что в соотношениях (2.2.5), 2.2.6), (2.2.8) значение , то есть можно положить его равным или любому другому отрицательному числу ( в задаче на максимум).

    На основе теоремы 1 получим систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

    Заметим сначала, что в рассматриваемой задаче состояние системы - вектор - функция фондовооруженности (удельного капитала), функция управления - скалярная величина, представляющая собой долю инвестиций в системе.

    Выпишем основные объекты, определяющие рассматриваемую задачу оптимального управления:

    Интегрант (подынтегральная функция целевого функционала)

    (2.2.9)

    Терминальная часть целевого функционала (терминант)

    , (2.2.10)

    где функция предполагается аналитически заданной.

    Функция, определяющая дифференциальную связь

    (2.2.11)

    вектор - функция векторных аргументов , компоненты которой определяются соотношениями

    (2.2.12)

    Для удобства выпишем сразу представление для функции Понтрягина

    (2.2.13)

    Делись добром ;)