2.2 Синтез системы объекта с

Выполним синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина, объект которой представляет собой два последовательно соединенных интегрирующих звена.

 (2.2.1)

Целью рассматриваемой системы управления является перемещение линейного объекта из заданной начальной точки Х(0) = Х₀ в пространстве состояний в заданную конечную точку Х(Т) = Х_Т за минимальное время при наличии ограничения на амплитуду управления

Критерий управления, как отмечалось ранее, в этом случае

Мера ошибки в критерии H =1, а верхний предел T не известен. Начальная Х(0) = Х₀ и конечная Х(T) = Х_T точки закреплены.

Запишем функцию Гамильтона и условия трансверсальности:

(T) и (0)-произвольны.

Согласно принципу максимума Понтрягина, стратегия управления состоит в минимизации функции Гамильтона относительно u. Минимум Г будет тогда, когда

min по и

или

min по и

Отсюда

(2.2.2)

Таким образом, стратегия управления и характер u*(t) определены: оптимальное управление - это релейное управление, максимальное по величине, причем переключение управления производится тогда, когда функция ^ТВ пересекает ось времени t [2].

По изложенной методике определим оптимальное управление , которое произвольное начальное состояние (х₁₀, x₂₀) переводит в начало координат за минимальное время Т.

Представим объект (2.2.1) в виде уравнения состояния (нормальная форма)

(2.2.3)

В рассматриваемом примере матрица , вектор. Образуем матрицу.

Матрица G -- невырожденная, поэтому система (2.2.3) будет нормальной. Характеристические числа матрицы A = 0, поэтому система (2.2.3) удовлетворяет условиям теоремы об n-интервалах. Оптимальное управление u*(t) является кусочно-постоянным и имеет не более двух интервалов постоянства.

Таким образом, управляющие последовательности в зависимости от начального состояния будут: {+ 1}, {-1},{+1,-1}, {-1, + 1}.

Обозначим u* = ?=±1 и найдем общее решение системы при и* = ?. Имеем

Пусть при t = 0, х₁ = х₁₀, х₂= х₂₀. Тогда, исключив время t из полученных выше равенств, найдем уравнение фазовых траекторий системы:

.

Фазовые траектории при ? = + 1 и при ? = - 1 изображены на рис.2.2.1.

Рис. 2.1.1 Фазовые траектории при ? = + 1 и при ? = - 1

Обозначим - множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и*={+1}, - множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и*={--1}. Эти множества описываются уравнениями

Если принять то множество запишется в виде

Рис. 2.2.2 Фазовые траектории оптимальной системы.

Обозначим R⁺ -- область, расположенную слева от кривой (рис. 2.2.2), и через R^- -- область, расположенную справа от . Если начальное состояние (х₁₀, х₂₀) R⁺, то оптимальное управление u* = {+ 1, -- 1}, причем переключение производится по линии , если (х₁₀, х₂₀) R^-, то оптимальное управление и* = {-- 1, +1}, причем переключение управления производится на линии ⁺. Закон управления

(2.2.4)

Линия представляет собой линию переключения.

Введем функцию , характеризующую расстояние от текущего положения фазовой точки (x₁,x₂) до линии переключения:

(2.2.5)

Когда фазовая точка окажется на линии переключения, то правая часть уравнения (2.2.5) будет равна нулю ( = 0) и управляющее устройство должно произвести переключение знака управления на противоположный.

Пока фазовая точка находится над линией переключения, > 0 и управление должно быть отрицательным и (t) = -U .

Когда фазовая точка находится под линией переключения, < 0 и управление должно быть положительным и (t) = +U .

Таким образом, в зависимости от знака должен выбираться и знак управления:

Все изложенное позволяет записать алгоритм оптимального по быстродействию регулятора для объекта (2.21):

=0, если , х₂ (2.2.4)

Структурная схема системы, реализующей закон управления (2.2.4), приведена на рис. 2.2.3, где обозначено

.

Рис. 2.2.3 Структурная схема системы