Задание №1

Полное решение исходного уравнения имеет вид:

Y (t) = Y_общ.(t) + Y_част.(t)

Найдем общее решение однородного уравнения (при X(t)=0):

T*dY (t)/d (t) + Y (t) = 0.

Y (t) = - T*dY (t)/d (t);

Y (t)*d (t) = - T*dY (t);

d (t) = - T*dY(t)/Y(t);

dY (t)/Y(t) = - d(t)/Т

Проинтегрируем обе части уравнения:

?dY(t)/ Y(t) = - ? d(t)/T;

ln Y(t) = - 1/T*t + C₀;

ln Y(t) = - t/T + C₀;

Y (t) = e^-t/T+C0;

Y (t) = e^-t/T_* e ^C0.

Пусть e ^C0 = C₁, тогда: Y_общ. (t) = C_1*e^-t/T - общее решение исходного уравнения.

Так как Х - единичная ступенчатая функция

Y_част. (t) = 1.

Полное решение исходного уравнения

Y (t) = C_1*e^-t/T+1.

получим:

C_1*e⁰ +1= 0;

C_1*e⁰ = - 1;

C₁ = - 1.

Полное решение исходного уравнения будет выглядеть:

Y (t) = 1- e^-t/T

m = 2

k = 12

Т = mk = 24

Подставим значение Т

Y (t) = 1- e^-t/9

б) Построить график переходного процесса Y(t) для значений времени t из диапазона 0…3T

t=0, Y (0) = 1- e ^-0/T = 0;

t=T, Y (T) = 1- e ^-T/T = 1- e ^-1 =1- 0, 37 = 0, 63;

t=2T, Y (2T) = 1-e ^-2T/T = 1- e ^-2 = 1- 0,137 = 0, 86;

t=3T, Y (3T) = 1-e ^-3T/T = 1- e ^-3 = 1- 0, 05 = 0, 95.

То есть: при t=0 Y(0) = 0,

при t=24 Y(6) = 0,63,

при t=48 Y(12) = 0,86;

при t=72 Y(t) = 0,95.