Моделирование систем массового обслуживания

практическая работа

2. Элементы практического применения теории массового обслуживания

Рассмотрим систему массового обслуживания на примере обслуживания рабочих необходимым инвентарем.

Допустим, что в инвентарной кладовой работают два человека. Требуется определить, в какой степени они своевременно обеспечивают заявки на обслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очереди дороже, чем дополнительное содержание еще одного или двух работников кладовой?

Таблица 1. - Расчет полного числа прихода рабочих в кладовую

Число приходов в единицу времени (за 15 мин)

Наблюдаемое число приходов, %

Наблюдаемая частота приходов, %

Полное число приходов рабочих (гр.1 * гр.2)

Число приходов в единицу времени (за 15 мин)

Наблюдаемое число приходов, %

Наблюдаемая частота приходов, %

Полное число приходов рабочих (гр.1 * гр.2)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

0

1

3

5

8

10

12

13

16

18

20

19

21

25

0

0

0,33

1,00

1,67

2,67

3,33

4,00

4,33

5,33

6,00

6,67

6,33

7,00

8,33

0

0

2

9

20

40

60

84

104

144

180

220

228

273

350

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

23

20

18

16

13

11

10

8

5

3

1

1

300

7,67

6,67

6,00

5,33

4,33

3,67

3,33

2,67

1,67

1,00

0,33

0,33

99,99

345

320

306

288

247

220

210

176

115

72

25

26

Для решения данной задачи необходимы прежде всего хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени. Если хронометраж осуществляется в течение 10 дней каждые 15 минут за смену (кроме начала и конца рабочего дня), то за этот период времени было произведено 300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10 дней). Время наблюдений (T) составит 4500 мин (15 300). Причем таких промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось, приход двух рабочих отмечался один раз, трех - три раза и т. д. (табл. 1).

Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна 0,33, трех - 1 и т. д.

Для определения среднего числа приходов в единицу времени () исчисляется полное число приходов (N) как сумма произведений числа приходов (количества пришедших в кладовую рабочих) на наблюдаемое число приходов.

Таким образом, среднее число требований на обслуживание, т. е. среднее число приходов в единицу времени (), составит:

=

==0,903 чел. - мин.

Чтобы определить распределение вероятностей для длительности обслуживания при предположении, что закон распределения экспоненциальный, вычислим среднюю продолжительность одного обслуживания (Тобсл); она равна 1,6 мин.

После этого можно установить интенсивность обслуживания ():

= ; ==0,625 чел. - мин.

В случае, когда <, увеличение очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их поступления. В данном примере >(0,903>0,625) и в кладовой образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность того, что в момент времени (t) очередь будет характеризоваться числом требований Pn(t):

Pn(t)=(1-); P0(t) =(1-); =,

где P0(t) - вероятность отсутствия очереди.

В тех случаях, когда 1, вероятность отсутствия очереди (0) обычно берется из графиков (в данном примере =1,445).

Для построения таких графиков воспользуемся таблицей значений Р0 для различных значений и n (n -количество кладовщиков в инструментальной кладовой).

Таблица 2. - Значения Р0 для различных значений и n

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

0,33

0,363

0,111

0,367

0,130

0,037

0,367

0,134

0,046

0,013

0,367

0,135

0,049

0,016

0,367

0,135

0,049

0,017

0,368

0,135

0,050

0,018

По данным табл.2 , в данном случае рассматривается многолинейная система, когда n 1 (количество кладовщиков превышает единицу).

Определим среднее время ожидания (Tс), которе складывается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Тож) и среднего времени обслуживания (Тобсл):

Tс= Тож + Тобсл.

В том случае, когда в системе работает n кладовщиков, среднее время ожидания в очереди определяется по формуле при n =2:

Тож = == 1,613;

Tс = 1,613+1,6=3,213 мин;

при n=3

Тож = == 0,199;

Tс = 0,199 +1,6 =1,799 мин;

при n=4

Тож = == 0,035;

Tс = 0,035 +1,6 =1,635 мин и т. д.

Предположим, что у рабочего потери от простоев составляют 5, а содержание кладовщика - 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т в систему поступает Т заявок, т. е. 1,445Т заявок.

Потери вследствие простоя рабочих при различном числе кладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные затраты и потери приведены в табл.3.

Таблица 3

Количество кладовщиков

Потери от простоя Рабочих

Затраты на содержание кладовщиков

Суммарные затраты и потери

2

3

4

3,213*1,445*5Т=23,214 Т

1,799*1,445*5Т=12,998Т

1,635*1,445*5Т=11,813Т

12Т

16Т

31,214Т

24,998Т

27,813Т

Из табл. 3 следует, что экономически выгоднее в инструментальной кладовой иметь трех кладовщиков, поскольку суммарные затраты будут наименьшими (min 24,998Т).

Делись добром ;)