Задание 1

Национальная экономика страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:

,

где [P]=у.д.е. - объём ВВП страны, [K]=у.д.е - объём национальных производственных фондов (капитал), [L]=чел. - численность населения страны, занятого в производственной сфере (труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет S₁, единицы труда - S₂, а связь между ними носит линейный характер и может быть описана уравнением S=S₁·K+S₂·L.

Исходные данные:

б₁ = 0.4; б₂ = 0.6; S = 50000; S₁ = 5; S₂ = 15.

Решение:

P = б₀ · K^0.4 · L^0.6

5 · K + 15 · L = 50000

Наиболее рациональным способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.

P (K, L, л):

Т.к. K ? 0 и L ? 0, следовательно:

Графическая иллюстрация решения задачи:

Если в экономику страны, развитие которой описывается функцией P = б₀ K^0.4 ·L^0.6 инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S₂ = 15 и единицы капитала S₁ = 5.