Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

курсовая работа

Висновки до розділу II

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення математичних моделей і дослідження цих моделей.

Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі.

Види моделей:

Ш динамічні або статичні;

Ш детерміновані або стохастичні;

Ш неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

Ш лінійні чи нелінійні;

Ш з розподіленими або зосередженими параметрами;

Ш аналітичні, імітаційні чи компютерні.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає обєкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях.

Під час розвязування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням.

Диференціальні рівняння досить повно і просто описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розвязувати, а й складати.

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим степенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання - коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

Мета дослідження: описати математичне моделювання процесів диференціальними рівняннями.

Обєкт дослідження: диференціальні рівняння.

Предмет дослідження: застосування диференціальних рівнянь.

Завдання:

1. Проаналізувати літературу з предмету дослідження.

2. Розкрити сутність математичного моделювання диференціальними рівняннями.

3. Застосування диференціальних рівнянь.

Методи дослідження:

теоретичні (аналіз літератури, систематизація і актуалізація даної теми).

РОЗДІЛ I. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

1.1 Поняття математичного моделювання

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

В основу методу покладено ідентичність форми рівнянь і однозначність співвідношень між змінними в рівняннях оригіналу і моделі, тобто, їхню аналогію. Математичні моделі досліджуються, як правило, із допомогою аналогових обчислювальних машин, цифрових обчислювальних машин,компютерів.

На початку 60-их років було розроблено один із методів математичного моделювання - квазіаналогове моделювання. Цей метод полягає в дослідженні не досліджуваного явища, а явища або процесу іншої фізичної природи, яке описується співвідношеннями, еквівалентними відносно отримуваних результатів.

Математичне моделювання тією чи іншою мірою застосовують всі природничі і суспільні науки, що використовують математичний апарат для одержання спрощеного опису реальності за допомогою математичних понять. Математичне моделювання дозволяє замінити реальний обєкт його моделлю і потім вивчати останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище абсолютно адекватно, що залишає актуальним питання про застосовність отриманих таким шляхом даних. Математичне моделювання широко застосовується у гірництві, геології, для вивчення і аналізу процесів переробки корисних копалин [13, c.16].

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів, які використовуються. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій.

Ш Лінійні або нелінійні моделі;

Ш Зосереджені або розподілені системи;

Ш Детерміновані або стохастичні;

Ш Статичні або динамічні.

Існує ще декілька підходів. Разом з тим, кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною . Природно, що можливі і змішані типи: у одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому - розподіленні моделі і так далі.

Математична модель - система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія, та ін.

При одержані математичної моделі використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів,імітаційне моделювання за допомогою ЕОМ. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками

Для створення математичних моделей можна використовувати будь які математичні засоби -- мову диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень [13, c.50].

Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розвязати в замкнутому вигляді (явно) відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або частково замкненому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференційні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірності моделі, моделі математичного програмування та ін.

Якщо не можна здобути точний розвязок математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші.

У залежності від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення математичні моделі можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними звязками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис неперервного процесу (наприклад, диференційними рівняннями) являє собою неперервну математичну модель.

Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального обєкта його математичної моделі). Якщо параметри обєкта, для якого розробляють математичну модель, можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої - постійні коефіцієнти. У протилежному випадку математична модель є нестаціонарною [14, c.56].

При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.

Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. У цьому випадку математичні моделі складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесу.

Для розробки математичної моделі широко використовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі. Приклади математичних моделей:

Ш Модель Мальтуса - закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.

Ш Система хижак-жертва (Вольтера-Лотки) - показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.

Ш Модель оптимальної поведінки покупця - виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.

Ш Модель всесвіту.

Таким чином, створення кожної моделі завжди має яку-небудь мету.

Під метою розуміється кінцевий стан, при якому досліджуваний обєкт досягає певної відповідності в часі й просторі з іншим обєктом.

Серед основних цілей створення моделі можна виділити наступні:

Ш Гносеологічні (пізнавальні);

Ш Освітні;

Ш Управлінські;

Ш Експериментальні;

Ш Творчі (проектування).

Для досягнення поставлених цілей модель повинна мати деякі властивості, які одночасно є й критеріями оцінки якості побудови моделі.

Серед властивостей моделі можна виділити наступні:

Ш Ефективність;

Ш Універсальність;

Ш Стійкість;

Ш Змістовність;

Ш Адекватність;

Ш Обмеженість;

Ш Повнота;

Ш Динамічність.

Властивість ефективності показує, наскільки правильним було створення й використання моделі для досягнення поставленої мети. Під універсальністю моделі розуміється можливість її застосування в інших задачах і для досягнення інших цілей. Стійкість моделі означає її правильну роботу в зовнішніх умовах, що змінюються, і екстрених ситуаціях. Властивість змістовності визначає кількість функції моделі.

Серед функцій моделі виділяють описову, інтерпретаторську, пояснювальну, вимірювальну функції.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає обєкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях. Таким чином, модель є обмеженою. Під повнотою моделі розуміється наявність відомостей про обєкт-оригіналі, необхідних для досягнення поставленої мети. Динамічність визначає зміна моделі із часом.

Історія моделювання визначається серединою XX століття, коли була опублікована монографія Норберта Вінера «Кібернетика або керування й звязок у тварині й машині».

Найважливішим у моделюванні є поняття інформації. Під інформацією можна розуміти наступне:

«Це позначення змісту отриманого із зовнішнього миру в процесі нашого пристосування до нього. При цьому процес одержання й використання інформації є процесом нашого пристосування до випадків нашого середовища й нашої життєдіяльності в цьому середовищі».

Це сукупність, відчужена від творця й усуспільнена форма знання.

Це модель, тобто спрощене неадекватне подання знань.

Приміром, інформаційною моделлю знання можна вважати текст, закріплений на матеріальному носії. При цьому інформаційна модель дозволяє відокремити коштовну інформацію від несуттєвої, вибрати аналогії серед різних видів обєктів і вибрати як робоча гіпотеза одне з можливих рішень.

1.2 Види математичних моделей

математичний моделювання диференціальний рівняння

Зупинимося на одному з найбільш універсальних видів моделювання - математичному, що ставить у відповідність модельованому фізичному процесу систему математичних співвідношень, вирішення якої дозволяє отримати відповідь на питання про поведінку обєкту без створення фізичної моделі, яка часто є дорогою і малоефективною. Отже, математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі.

На підставі різних критеріїв класифікації, виділяють наступні види моделей [17, c. 75 - 77]:

Ш динамічні або статичні;

Ш детерміновані або стохастичні;

Ш неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

Ш лінійні чи нелінійні;

Ш з розподіленими або зосередженими параметрами;

Ш аналітичні, імітаційні чи компютерні.

Динамічні моделі відтворюють поведінку нестаціонарних обєктів, що змінюються у часі. Статичні моделі описують стан обєкта у деякий момент часу. Такі моделі розробляються для стаціонарних обєктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі.

Детерміновані моделі використовують для опису процесів, що не містять істотної випадковості. Наприклад, поведінку більшості технічних систем можна охарактеризувати за допомогою так званих фазових змінних - фізичних величин типу потоку і потенціалу. При цьому доцільно виділити в обєктах моделювання досить великі елементи, що розглядаються як неділимі одиниці. Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями, що звязують різнорідні фазові змінні. Загальність опису процесів, що відбуваються в різних технічних системах, дозволяє виділити декілька типів елементів: - елемент розсіювання енергії; і - елементи накопичення енергії. Поєднанням цих простих елементів і джерел фазових змінних отримують еквівалентну схему технічної системи будь-якої складності і її математичну модель.

Детерміністичні моделі описують закономірності, що виявляються в одиночному, у кожнім окремо узятому елементі сукупності. Такій закономірності властива тверда механічна причинність, що конкретно визначає поводження кожної одиниці сукупності. Вона одержала назву динамічної або закономірності з твердою детермінацією. Типовими прикладами динамічних закономірностей можуть служити закони класичної механіки. У динамічних закономірностях звязок між причиною і наслідком може бути виражений цілком точно у вигляді конкретних математичних формул. Тут кожному наборові значень пояснюючих змінних завжди відповідає визначене значення пояснюваної змінної. Такий звязок називається функціональним. Детерміністична модель служить вираженням функціонального звязку.

Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі. Якщо обєкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи.

Стохастичні моделі описують закономірності, які обумовлені одночасною дією на обєкт багатьох факторів і які проявляються чітко тільки при масових спостереженнях. До найбільш розповсюджених методів побудови стохастичних моделей відносяться методи, обєднані під загальною назвою -- багатовимірний статистичний аналіз, зокрема -- кореляційний і регресійний аналізи. Практика показує, що стохастичні моделі, одержані за допомогою кореляційного і регресійного аналізів, мають перевагу при кількісному описі причинно-наслідкових відносин в економіці і соціальній сфері в порівнянні з детерміністичними моделями. Виявлення кількісних співвідношень у вигляді регресії дає можливість краще зрозуміти природу досліджуваного явища. А це, у свою чергу, дозволяє впливати на виявлені фактори, втручатися у відповідний економічний процес з метою одержання потрібних результатів.

Неперервні моделі представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на обєкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше - нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами - звичайних диференціальних рівнянь.

Для аналітичних моделей властиво те, що процеси функціонування обєкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов. Наприклад, закон Ома чи рівняння Максвелла. Дослідження аналітичних моделей можливе за допомогою методів:

Ш аналітичних;

Ш чисельних;

Ш якісних.

Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості обєкта.

Чисельні методи дозволяють отримати розвязок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно. Розвязок чисельними методами здійснюється для конкретних вихідних даних і має додаткову похибку.

Якісні методи дозволяють зробити певні висновки по моделі, не маючи розвязку у явному вигляді. Наприклад, такі методи використовуються у теорії автоматичного управління для оцінки ефективності різних варіантів систем управління.

Імітаційне моделювання передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та компютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку обєкту. Імітаційні моделі розглядаються як експерименти, що проводяться на компютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних обєктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні. Наприклад, вони дозволяють досить легко враховувати вплив випадкових факторів [20, c.80].

Традиційно під моделюванням на компютері розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло компютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання компютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту.

Під компютерним моделюванням найчастіше розуміють: умовний образ обєкта чи деякої системи обєктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних компютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозвязки між елементами обєкта чи системи. Компютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними; окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціонування обєкта (системи обєктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів (імітаційну модель).

Інколи застосовується комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання, яке полягає в тому, що обєкт декомпозується на окремі підсистеми. Для тих підсистем, для яких це можливе, використовуються аналітичні моделі, а для інших розробляються імітаційні моделі.

Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого обєкту.

Моделі прогнозування. Існує множина математичних моделей, за допомогою яких вирішуються ті, або інші задачі. У всіх сферах діяльності людини важливим моментом є прогнозування наступних подій. Зараз існує більше 100 методів і методик прогнозування. Умовно їх можна розділити на фактографічні й експертні. Фактографічні методи засновані на аналізі інформації про обєкт, а експертні - на судженнях експертів, які отримані при проведенні колективних або індивідуальних опитувань. Серед фактографічних методів можна виділити наступні:

Ш Статистичні методи.

Ш Методи аналогії.

До статистичних методів ставляться апроксимація, інтерполяція, , методи дослідження тимчасових рядів.

До методів аналогії ставляться моделі планування експерименту, а також математичної, історичної й іншої аналогії.

Серед моделей прогнозування можна виділити наступні:

Моделі апроксимації. Методи апроксимації застосовні до детермінованих і статистичних систем. Апроксимація - наближення. Вибір апроксимуючої функції повязаний з рішенням задачі. Для цього застосовується критерій мінімізації квадратичної помилки.

Постановка задачі.

Нехай проведено дослідів, де - вхідний параметр; - вихідний параметр.

Необхідно підібрати модель єднальну і (рис.1.1).

Рис.1.1.Єднальна модель і

Через точки можна провести криву, що, у свою чергу, може проходити через ці точки або перебувати поблизу даних точок.

В апроксимації для одержання параметрів моделі використовується Мнк-критерій (метод найменших квадратів). Кращою вважається та модель, для якої сума квадратів відхилень значень, від теоретичних буде мінімальною.

Для цього формується цільова функція або критерій оптимізації.

Далі треба досліджувати функцію на екстремум. Невідомими будуть коефіцієнти моделі B. Найбільше просто перебувають параметри, якщо являє собою поліном -ний ступеня. При цьому формується система лінійних рівнянь, порядок якої на одиницю більше степеня полінома.

У загальному випадку для знаходження параметрів формується система диференціальних рівнянь. Наприкінці формується система лінійних рівнянь, яку можна вирішувати точними методами (метод Крамера, Гауса, зворотної матриці). Коли система вирішена, тобто, знайдені параметри моделі, можна виконати прогнозування значень y [4, c.16-17].

Якщо знаходиться усередині інтервалу , то говорять про прогнозування в сьогоденні. Якщо менше , або більше , то мова йде про екстраполяцію.

Моделі інтерполяції. В інтерполяції, на відміну від апроксимації, проводиться мінімізація лінійної помилки. Також, на відміну від апроксимації, де крива стосовно точок досліду може розташовуватися будь-яким образом, а саме перебувати поблизу цих точок, або проходити через деякі з них, крива інтерполяції, або інтерполяційний поліном обовязково проходить через всі точки кривої, які називаються вузлами.

Найбільш простий підхід до одержання інтерполяційної моделі був запропонований Лагранжем. Тому що поліном проходить через кожну досліджену точку, то потрібно скласти стільки рівнянь, скільки проведено дослідів. У лівій частині рівняння формується поліном, що проходить через -ту точку. У правій частині формується вектор значень . У результаті виходить система лінійних рівнянь -ого порядку, де -число дослідів, а степінь інтерполяційного полінома на одиницю менше числа дослідів.

Кількість дослідів має бути більше пяти, інакше результати інтерполяції будуть не придатні для прогнозування. Тому що метод інтерполяції вимагає проходження моделі через всі точки, то накладаються певні умови на досліджене значення. Різниці -ого порядку повинні бути приблизно однаково малі. Добре інтерполюються монотонні функції.

Обидва розглянутих методи відносяться до методів дослідження детермінованих моделей.

1.3 Основні поняття диференціальних рівнянь

У кінці XVII - на початку XVIII століття різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагались здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій, або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найбільш прості диференціальні рівняння зявились в працях Ісаака Ньютона (1643 - 1727) і Готфріда Лейбніца (1646 - 1716), саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства та техніки. Їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, хімії, біології. Це пояснюється тим, що досить часто обєктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобами для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю змінних цих величин. Іншими словами, ці закони виражають рівностями, в яких є невідомі функції та їх похідні.

У XVIII столітті теорія диференціальних рівнянь відокремилась з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну. Її успіхи повязанні з іменами швейцарського Іоганна Бернуллі (1667 - 1748 ), французького математика Жозефа Лагранжа (1736 - 1813) і особливо Леонарда Ейлера (1707 - 1783).

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був повязаний з успішним розвязком деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуку класів рівнянь, розвязки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розвязку [24, c.408].

У звязку з потребами практики поступово розробляються і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розвязок кожної такої задачі до числового результату.

Під час розвязування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд із цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням. Порядок найвищої похідної, що входить у задане диференціальне рівняння, називається його порядком.

Наприклад, рівняння

являється диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо в рівняння входять незалежна змінна, невідома функція і її перша похідна, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім цього, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку тощо [22, c.402].

Диференціальним рівнянням n-го порядку називають рівність:

де - незалежна зміна; - невідома функція; - похідні невідомої функції.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальному рівнянню, називають розвязком, або інтегралом цього рівняння, а знаходження розвязку диференціального рівняння - інтегруванням.

Наприклад, функція

є розвязком диференціального рівняння

,

Оскільки

.

Розвязком диференціального рівняння називають будь-яку функцію,яка при підстановці в рівняння перетворює його в тотожність.

Функція

є розвязком диференціального рівняння (1):

(1)

Справді, друга похідна від функції дорівнює:

.

Підставляючи значення в рівняння

,

Отримаємо

Аналогічно можна переконатися, що функція

де і -- довільні сталі, також є розвязком даного рівняння (1).

Загальним розвязком (загальним інтегралом) диференціального рівняння називають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Процес знаходження загального розвязку називають інтегруванням диференціального рівняння.

Розвязок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається частинним розвязком цього рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі

розвязок - загальний, а розвязок - частинний.

На практиці здебільшого частинний розвязок диференціальних рівнянь знаходять із загального розвязку, виходячи із заданих умов, яким має задовольняти окремий розвязок даного диференціального рівняння. Ці умови називають початковими умовами.

Задача відшукання частинного розвязку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається задачею Коші.

Приклад. Знайти окремий розвязок диференціального рівняння

(2)

який задовольняє початковим умовам:

,

якщо загальний розвязок даного рівняння задано у вигляді:

(3)

Розвязування. Підставивши в загальний розвязок (3) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої

,

Звідси

Отже, шуканий окремий розвязок диференціального рівняння (2) для заданих початкових умовах є функція , задана рівнянням

Дамо геометричну інтерпретацію розвязку рівняння (2).

Оскільки кожен окремий розвязок даного рівняння є деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розвязку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння [24, c.403].

Загальному розвязку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сімєю інтегральних кривих.

Ми встановили, що окремим розвязком рівняння

при початкових умовах

і

є крива

,

а загальним розвязком - сімя інтегральних кривих

.

У системі координат на площині загальний розвязок задає множина концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл требо взяти те коло, яке проходить через точку з координатами

.

Це коло задається рівнянням

.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розвязати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розвязки за допомогою компютерних програм .

Диференціальні рівняння досить повно і просто описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розвязувати, а й складати.

Делись добром ;)