Задание №1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах, табл. 1.1) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Исходные данные

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁=0,3, б₂=0,6, б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Модель Хольта-Уинтерса имеет вид:

где k - период упреждения, k=1;

a_t, b_t, F_t -- коэффициенты модели;

L -- период сезонности, L=4.

Адаптация к новому значению параметра времени t коэффициентов модели Хольта-Уинтерса производится по формулам

Для оценки начальных значений a₀ и b₀ применим линейную модель к первым 8-ми значениям заданного ряда (табл. 1.2.)

Расчет параметров линейной модели a₀ и b₀

Расчет a₀ и b₀ произведем по формулам:

Таким образом, линейная модель имеет вид

.

Подставив фактические значения времени, найдем

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности F_-3; F_-2; F_-1; F₀ по формулам:

1. Тогда для момента времени t=0, и k=1 имеем

2. Для t=1, k=1,

3. Для t=2, k=1,

4. Для t=3, k=1,

5. Для t=4, k=1,

6. Для t=5, k=1,

7. Для t=6, k=1,

8. Для t=7, k=1,

9. Для t=8, k=1,

10. Для t=9, k=1,

11. Для t=10, k=1,

12. Для t=11, k=1,

13. Для t=12, k=1,

14. Для t=13, k=1,

15. Для t=14, k=1,

16. Для t=15, k=1,

17. Для t=16, k=1

Сведем полученные данные с таблицу (табл. 1.3.)

адаптивный мультипликативный коммерческий сглаживание

Расчетные данные по модели Хольта-Уинтерса

2) Оценим точность построенной модели Хольта-Уинтерса с использованием средней относительной ошибки аппроксимации, которую найдем по формуле (расчеты произведем в табл. 1.3. графы 7,8)

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации А меньше 5%, то модель точная.

3) Проверим адекватность модели.

а) Для адекватной модели характерно равенство математического ожидания ряда остатков 0. Проверка осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчеты произведем в табл. 1.4.

Проверка адекватности модели

где

Сравним tрасч с табл t_0,05; ₁₅= 2,13. Т.к. 1,67<2,13, то на уровне значимости б=0,05 гипотеза о том, что математическое ожидание ряда остатков Et=0 принимается.

б) Проверим условие случайности уровней остаточной компоненты по критерию пиков.

р=10, т.к. р>q (10>6), то условие случайности уровней остаточной компоненты выполняется.

в) Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проведем с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Расчеты произведем в табл. 1.4.

Т.к. d₁<d_p=1,37=d₂, то для проверки независимости уровней ряда остатков используем первый коэффициент автокорреляции.

r_табл=0,34, так как r₁<r_табл (0,31<0,34), то автокорреляция уровней ряда остатков отсутствует.

г) Проверку соответствия ряда остатков нормальному закону распределения выполним по R/S-критерию.

3 < 3,38< 4,21

d₁<R/S<d₂, значит условие подчинения ряда остатков нормальному закону распределения выполняется.

Так как все 4 условия выполнены, то модель является адекватной и ее можно использовать для прогнозирования.

4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отобразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (Рис. 1).