Математические модели макроэкономики

курсовая работа

1.3 Рынок и его виды

Определение 4. Рынок -- это механизм взаимодействия покупателей и продавцов, реализующийся через рыночные цены, взаимное соотношение спроса и предложения.

Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны, т. е. классификация участников рынка, зависит от характера решаемой задачи.

В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Можно сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции.

Один

Несколько

Много

Один

Сделка

Олигополия

Монополия

Несколько

Олигополия

Много

Монопсония

Олигополия

Конкуренция

Рис 2. Виды рынков (по числу участников).

1.4 Модель Леонтьева. Статическая модель

Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:

1) В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;

2) Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один продукт;

3) Производственный процесс в отрасли - это преобразование некоторых типов продуктов в какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить aij единиц i-го продукта, то выпуск л единиц j-го продукта потребует л aij единиц i-го продукта.

Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.

Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.

Из предположений следует производственное потребление i-го продукта всеми отраслями равно ? aij хj, поэтому чистый выпуск i-го продукта составит

(1.1)

Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него yi, то образуется система уравнений:

(1.2)

Которая и составляет модель Леонтьева.

Конечный спрос yi состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины yi мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных yi, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков xi, i=1, … , n.

Величины yi, xi могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.

Система (1.2) - это система n линейных уравнений с n неизвестными xi, i=1, … , n, которая является хорошо изученным объектом линейной алгебры. Однако система описывает отраслевую структуру экономики и поэтому обладает следующими свойствами: коэффициенты прямых затрат aij, объемы конечного спроса yi и валовые выпуски xi - неотрицательны.

Система (1.2) называется работоспособной или продуктивной, если разрешима в неотрицательных xi.

Двойственной к системе (1.2) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов pj.

(1.3)

Где - добавлена стоимость на единицу выпуска j-й отрасли.

Поскольку - сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части уравнений (1.2) - чистый доход от единичного выпуска j-й отрасли, который приравнивается к добавленной стоимости .

Система (1.3) - прибыльная, если она разрешима в неотрицательных , j = 1, … , n. Так же известно , что продуктивность (1.2) и прибыльность (1.2.2) эквивалентны: из продуктивности системы следует прибыльность и наоборот.

Система (1.3) может записана и в виде матрицы:

(I - A)x = y, (1.4)

Где I = In - единичная матрица с размерами

Из (1.2.3) следует, что продуктивность (1.2.1) эквивалентно неотрицательной обратимости матрицы (I - A) . если одно из условий выполняется, то

x = (I - A)-1y, (1.5)

причем .

Обозначим через N множество номеров отраслей N = {1, … , n}. Подмножество отраслей S изолировано, если aij = 0 для , т. е. отрасли не

(1.6)

Где А1 - квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S; А3 - квадратная матрица с размерами , отвечает отраслям S.

Технологическая матрица называется неразложимой, если ее нельзя путем перестановок строк и столбцов привести к виду (1.6). Неразложимость А означает, что каждая отрасль косвенно использует продукцию всех отраслей.

Таким образом, если модель Леонтьева продуктивна, то для любого вектора спроса однозначно определяется неотрицательный вектор валового выпуска х по формуле:

(1.7)

Для производства данного объема конечного спроса у необходимо затратить Ау продуктов, но сначала их надо произвести, для чего понадобиться А2у продуктов и т.д.

Матрица А* = (I -A)-1 > 0 называется матрицей полных затрат, т.к.

х = (I -A)-1у= А*у. (1.8)

Каждый ее коэффициент aij показывает, сколько надо произвести единиц i-го продукта на единицу j-го конечного продукта.

1.5 Математическую модель рынка. Модель Вальраса

Основными условиями модели Вальраса являются:

1. дезагрегированность участников рынка (рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители);

2. совершенность конкуренции;

3. общность равновесия (рассматривается равновесие по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам).

Предположим, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Таким образом, рассматривается «расширенное» пространство товаров , где n = n1 + n2 - число видов всех товаров, n1 - число видов товаров конечного потребления, а n2 - число видов производственных факторов. Обозначим:

k - индексы видов товаров (),

i - индексы потребителей (),

j - индексы производителей (),

- вектор цен товаров.

Так как потребитель, как участник рынка, не занятый в производстве, может продавать имеющиеся ресурсы, а производитель, занятый в производстве, продает свою готовую продукцию и покупает ресурсы. Таким образом, каждый i-й потребитель характеризуется:

· начальным запасом товаров ,

· функцией дохода ,

· вектор - функцией спроса на продукты производства со значениями из .

Каждый j-й производитель характеризуется:

· вектор - функцией предложения готовой продукции со значениями из ,

· вектор - функцией спроса на ресурсы со значениями из .

Следовательно, , где - производственная вектор - функция j-го производителя . С учетом всего выше сказанного, математической моделью рынка является совокупность элементов:

(1.1)

где - пространство товаров, - пространство цен, N = l+m - количество участников рынка.

Вектор p=(p1,..,pn) содержит цены, как товаров, так и затрат.

Доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух слагаемых:

· выручка от продажи его начального запаса товаров , ,

· доход от участия в прибыли производственного сектора , который в свою очередь складывается через приобретение ценных бумаг, инвестиционной и трудовой деятельности.

Таким образом:

.

Рассмотрим вектор - функцию, и назовем ее производственным планом j-го производителя:

,

Следовательно, прибыль производителя выражается функцией

.

Считается, что вся прибыль производственного сектора распределяется между потребителями и поэтому

.

Функция спроса на товары конечного потребления являются результатом оптимизации функции полезности i - го потребителя при заданном доходе . Соответственно считаем, что значения функции спроса на затраты и функции предложения выпуска является результатом решения соответствующих задач по оптимизации прибыли j - го производителя при ценах p.

Введем понятия совокупного спроса и совокупного предложения.

Определение 5 .Вектор - функция

называется функцией совокупного (рыночного) спроса, где первая сумма выражает общий спрос на товары конечного потребления, а вторая - общий спрос на ресурсы.

Определение 6. Вектор - функция

.

При таком определении смысл совокупного спроса и предложения соответствует их формированию на основе решения соответствующих индивидуальных экстремальных задач для потребителей и производителей.

Определение 7.Набор векторов называется конкурентным равновесием на рынке , если и D()=S(), где - равновесный вектор цен.

Из построенной по Вальрасу модели рынка вытекает следующий вывод. Чтобы найти равновесный вектор цен, надо:

1. Записать все соотношения оптимальности для каждой индивидуальной задачи потребителя по оптимизации его функции полезности и для каждого индивидуальной задачи производителя по оптимизации его прибыли;

2. Дополнить их формулой дохода потребителя;

3. Записать условие распределения все прибыли среди потребителей;

4. Записать равенство S(p)=D(p);

5. Решить полученную систему уравнений относительно искомого вектора равновесных цен.

Делись добром ;)