Математические модели макроэкономики
1.3 Рынок и его виды
Определение 4. Рынок -- это механизм взаимодействия покупателей и продавцов, реализующийся через рыночные цены, взаимное соотношение спроса и предложения.
Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны, т. е. классификация участников рынка, зависит от характера решаемой задачи.
В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Можно сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции.
Один |
Несколько |
Много |
||
Один |
Сделка |
Олигополия |
Монополия |
|
Несколько |
Олигополия |
|||
Много |
Монопсония |
Олигополия |
Конкуренция |
Рис 2. Виды рынков (по числу участников).
1.4 Модель Леонтьева. Статическая модель
Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:
1) В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;
2) Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один продукт;
3) Производственный процесс в отрасли - это преобразование некоторых типов продуктов в какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить aij единиц i-го продукта, то выпуск л единиц j-го продукта потребует л aij единиц i-го продукта.
Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.
Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.
Из предположений следует производственное потребление i-го продукта всеми отраслями равно ? aij хj, поэтому чистый выпуск i-го продукта составит
(1.1)
Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него yi, то образуется система уравнений:
(1.2)
Которая и составляет модель Леонтьева.
Конечный спрос yi состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины yi мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных yi, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков xi, i=1, … , n.
Величины yi, xi могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.
Система (1.2) - это система n линейных уравнений с n неизвестными xi, i=1, … , n, которая является хорошо изученным объектом линейной алгебры. Однако система описывает отраслевую структуру экономики и поэтому обладает следующими свойствами: коэффициенты прямых затрат aij, объемы конечного спроса yi и валовые выпуски xi - неотрицательны.
Система (1.2) называется работоспособной или продуктивной, если разрешима в неотрицательных xi.
Двойственной к системе (1.2) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов pj.
(1.3)
Где - добавлена стоимость на единицу выпуска j-й отрасли.
Поскольку - сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части уравнений (1.2) - чистый доход от единичного выпуска j-й отрасли, который приравнивается к добавленной стоимости .
Система (1.3) - прибыльная, если она разрешима в неотрицательных , j = 1, … , n. Так же известно , что продуктивность (1.2) и прибыльность (1.2.2) эквивалентны: из продуктивности системы следует прибыльность и наоборот.
Система (1.3) может записана и в виде матрицы:
(I - A)x = y, (1.4)
Где I = In - единичная матрица с размерами
Из (1.2.3) следует, что продуктивность (1.2.1) эквивалентно неотрицательной обратимости матрицы (I - A) . если одно из условий выполняется, то
x = (I - A)-1y, (1.5)
причем .
Обозначим через N множество номеров отраслей N = {1, … , n}. Подмножество отраслей S изолировано, если aij = 0 для , т. е. отрасли не
(1.6)
Где А1 - квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S; А3 - квадратная матрица с размерами , отвечает отраслям S.
Технологическая матрица называется неразложимой, если ее нельзя путем перестановок строк и столбцов привести к виду (1.6). Неразложимость А означает, что каждая отрасль косвенно использует продукцию всех отраслей.
Таким образом, если модель Леонтьева продуктивна, то для любого вектора спроса однозначно определяется неотрицательный вектор валового выпуска х по формуле:
(1.7)
Для производства данного объема конечного спроса у необходимо затратить Ау продуктов, но сначала их надо произвести, для чего понадобиться А2у продуктов и т.д.
Матрица А* = (I -A)-1 > 0 называется матрицей полных затрат, т.к.
х = (I -A)-1у= А*у. (1.8)
Каждый ее коэффициент aij показывает, сколько надо произвести единиц i-го продукта на единицу j-го конечного продукта.
1.5 Математическую модель рынка. Модель Вальраса
Основными условиями модели Вальраса являются:
1. дезагрегированность участников рынка (рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители);
2. совершенность конкуренции;
3. общность равновесия (рассматривается равновесие по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам).
Предположим, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Таким образом, рассматривается «расширенное» пространство товаров , где n = n1 + n2 - число видов всех товаров, n1 - число видов товаров конечного потребления, а n2 - число видов производственных факторов. Обозначим:
k - индексы видов товаров (),
i - индексы потребителей (),
j - индексы производителей (),
- вектор цен товаров.
Так как потребитель, как участник рынка, не занятый в производстве, может продавать имеющиеся ресурсы, а производитель, занятый в производстве, продает свою готовую продукцию и покупает ресурсы. Таким образом, каждый i-й потребитель характеризуется:
· начальным запасом товаров ,
· функцией дохода ,
· вектор - функцией спроса на продукты производства со значениями из .
Каждый j-й производитель характеризуется:
· вектор - функцией предложения готовой продукции со значениями из ,
· вектор - функцией спроса на ресурсы со значениями из .
Следовательно, , где - производственная вектор - функция j-го производителя . С учетом всего выше сказанного, математической моделью рынка является совокупность элементов:
(1.1)
где - пространство товаров, - пространство цен, N = l+m - количество участников рынка.
Вектор p=(p1,..,pn) содержит цены, как товаров, так и затрат.
Доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух слагаемых:
· выручка от продажи его начального запаса товаров , ,
· доход от участия в прибыли производственного сектора , который в свою очередь складывается через приобретение ценных бумаг, инвестиционной и трудовой деятельности.
Таким образом:
.
Рассмотрим вектор - функцию, и назовем ее производственным планом j-го производителя:
,
Следовательно, прибыль производителя выражается функцией
.
Считается, что вся прибыль производственного сектора распределяется между потребителями и поэтому
.
Функция спроса на товары конечного потребления являются результатом оптимизации функции полезности i - го потребителя при заданном доходе . Соответственно считаем, что значения функции спроса на затраты и функции предложения выпуска является результатом решения соответствующих задач по оптимизации прибыли j - го производителя при ценах p.
Введем понятия совокупного спроса и совокупного предложения.
Определение 5 .Вектор - функция
называется функцией совокупного (рыночного) спроса, где первая сумма выражает общий спрос на товары конечного потребления, а вторая - общий спрос на ресурсы.
Определение 6. Вектор - функция
.
При таком определении смысл совокупного спроса и предложения соответствует их формированию на основе решения соответствующих индивидуальных экстремальных задач для потребителей и производителей.
Определение 7.Набор векторов называется конкурентным равновесием на рынке , если и D()=S(), где - равновесный вектор цен.
Из построенной по Вальрасу модели рынка вытекает следующий вывод. Чтобы найти равновесный вектор цен, надо:
1. Записать все соотношения оптимальности для каждой индивидуальной задачи потребителя по оптимизации его функции полезности и для каждого индивидуальной задачи производителя по оптимизации его прибыли;
2. Дополнить их формулой дохода потребителя;
3. Записать условие распределения все прибыли среди потребителей;
4. Записать равенство S(p)=D(p);
5. Решить полученную систему уравнений относительно искомого вектора равновесных цен.