3.1 Решение задачи графическим методом

1) Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 34x₁+50x₂ > max, при ограничениях:

F=34*X1+50*X2 =>max

2) Построим прямую 2x₁+5x₂ = 432 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 16. Находим x₂ = 80. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 216. Соединяем точку (16; 80) с (216; 0) прямой линией. Построим прямую 3x₁+4x₂ = 424 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 141. Находим x₂ = 0. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 8. Находим x₁ = 100. Соединяем точку (141; 0) с (8; 100) прямой линией. Построим прямую 5x₁+3x₂ = 532 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 44. Находим x₂ = 104. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 104. Находим x₁ = 4. Соединяем точку (44; 104) с (104;

4) прямой линией.

Рисунок 3 Вектор-градиент

3) Рассмотрим целевую функцию задачи F = 34x₁+50x₂ > max.

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F (X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (34; 50). Будем двигать прямую, перпендикулярную вектору, параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. 4) Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F (x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 56, x₂ = 64 Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F (X) = 34*56 + 50*64 = 5104