Корреляционный и регрессионный анализ

2. Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X•Y	X2	Y2		Y-
1	23	110	2530	529	12100	98,71	11,29	127,42	10,26
2	45	125	5625	2025	15625	115,43	9,57	91,55	7,65
3	34	111	3774	1156	12321	107,07	3,93	15,43	3,54
4	51	121	6171	2601	14641	119,99	1,01	1,02	0,83
5	28	109	3052	784	11881	102,51	6,49	42,09	5,95
6	62	127	7874	3844	16129	128,35	-1,35	1,83	1,06
7	71	143	10153	5041	20449	135,19	7,81	60,96	5,46
8	63	121	7623	3969	14641	129,11	-8,11	65,80	6,70
9	70	154	10780	4900	23716	134,43	19,57	382,91	12,71
10	45	108	4860	2025	11664	115,43	-7,43	55,23	6,88
11	51	136	6936	2601	18496	119,99	16,01	256,26	11,77
13	27	109	2943	729	11881	101,75	7,25	52,53	6,65
13	62	125	7750	3844	15625	128,35	-3,35	11,24	2,68
14	57	110	6270	3249	12100	124,55	-14,55	211,76	13,23
15	63	120	7560	3969	14400	129,11	-9,11	83,03	7,59
16	69	134	9246	4761	17956	133,67	0,33	0,11	0,24
17	74	131	9694	5476	17161	137,47	-6,47	41,89	4,94
18	35	105	3675	1225	11025	107,83	-2,83	8,02	2,70
19	21	74	1554	441	5476	97,19	-23,19	537,87	31,34
20	60	120	7200	3600	14400	126,83	-6,83	46,68	5,69
?	1011	2393	125270	56769	291687	2393	0	2093,62	147,90
Ср.	50,55	119,65	6263,5	2838,45	14584,35	119,65	0	104,68	7,39

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

Определим коэффициент корреляции:

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости ?=0,05 составит t_табл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

Тогда

;

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

, поэтому параметры а, b, и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

Получаем доверительные интервалы:

и ;

и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

Содержание