Задание 1

1.Постройте поле корреляции.

2.Рассчитайте параметры линейного, степенного, экспоненциального(показательного), параболического, гиперболического трендов с помощью пакета Excel.

3.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4.Оцените адекватность линейной модели, проверив:

v Случайность колебаний уровней по критерию пиков;

v Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону с помощью RS-критерия;

v Равенство нулю среднего значения случайной компоненты на основе l-критерия Стьюдента;

v Независимость значений уровней случайной компоненты по критерию Дарбина-Уотсона.

С помощью средней ошибки аппроксимации оцените точность уравнения.

5. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность нелинейных моделей. Для этого рассчитайте индексы корреляции для каждой модели;

v Вычислите относительную ошибку аппроксимации;

v Проверьте ряд остатков на гомоскедастичность графическим методом.

6.Выберите лучшее уравнение тренда и дайте его обоснование. По выбранному уравнению регрессии рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a=0,05.

7. оцените полученные результаты, выводы оформите.

Решение:

1.Построим поле корреляции:

2. С помощью офисного пакета Microsoft Excel построим различные виды трендов:

Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Показатель корреляции:

Связь между результатом и фактором прямая и достаточно сильная.

Для определения качества построения модели вычислим коэффициент детерминации:

.

Следовательно, в данной модели учтено 67,24% фактора, оказывающего влияние на результат, а оставшиеся 32,76% составляют факторы, влияющие на результат, но в данную модель не включенные.

Оценим адекватность линейной модели y=1,0847*x

А) Проверим гипотезу о случайности значений остаточной компоненты методом поворотных точек (методом пиков).

Критическое число поворотных точек рассчитывается по формуле:

Количество поворотных точек данной модели равно 4.

Т.к. количество поворотных точек на графике остаточной компоненты равно необходимому (4=4), то вывода о выполнении гипотезы о случайности значений остаточной компоненты сделать нельзя.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи R/S-критерия.

Вычислим вариационный размах = и среднеквадратическое отклонение остаточной компоненты:

.

Рассчитаем критерий R/S:

Вычисленное значение критерия R/S попадает в заданный интервал, следовательно, можно сделать вывод об адекватности модели наблюдаемому процессу по данному критерию.

Проверим гипотезу о независимости значений остаточной компоненты

Для проверки данной гипотезы рассчитаем критерий Дарбина-Уотсона (в качестве критических принимаем уровни d1=1,08 и d2=1,36).

Вычисленное значение d попадает в интервал между d2=1,36 и 2.

Таким образом, ряд остатков некоррелирован. Свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается. Модель адекватна по этому критерию.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

Следовательно, модель является точной.

Вычислим для каждой модели индекс корреляции:

Степенная функция:

Экспоненциальная функция:

Параболическая функция:

Коэффициент детерминации максимален у степенной модели. Поэтому лучшим уравнением тренда является:

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.