1.2.4 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

Пусть генеральные совокупности У1 и У2 объемом n=15 и m=16 распределены по нормальному закону. Их средние квадратические отклонения известны и равны соответственно уу1=5,7 и уу2=6,76.

Проверим нулевую гипотезу H0: M(У1)=M(У2) на уровне значимости 0,05.

Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на следующем соображении: так как приближённое представление о математическом ожидании даёт выборочное среднее, то в основе проверки гипотезы должно лежать сравнение выборочных средних . Найдём закон распределения разности . Эта разность является случайной величиной.

Если гипотеза Н0 верна, то

, (22)

Пользуясь свойствами дисперсии, получим:

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы выберем пронормированную случайную величину:

(24)

Таким образом, если гипотеза верна, случайная величина Zнаб имеет нормальное распределение N (0,1).

Теперь на уровне значимости б построим критические области и проверим гипотезу для трёх видов альтернативной гипотезы Н1.

1) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y)>М(Y) (25)

В этом случае критическая область есть интервал (Yпр,б,+?); где критическая точка Yпрб определяется из условия: Р(N(0,1)> Yпрб)=б. Подставляем числовые значения, найдём значение случайных величин У1 и У2 и значение критерия Zнаб. Если Zнаб> Yпрб, то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Таким образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью б.

2) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y1)<М(Y2) (26)

В этом случаи критическая область имеет вид (-?, Yлев,б), где критическая точка Yлев,б находится из уравнения P(N(0,1)< Yлев,б)=б. Вычислим числовое значение Zнаб. Если оно попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н1, в противном случае - гипотеза Н0.

3) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y1)?М(Y2) (27)

В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов (-?, Yлев,б) и (Yпр,б,+?).

Р (N(0,1)< Yлев,б/2)=б/2; (28)

P (N(0,1)> Yпр,б/2)=б/2. (29)

В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля имеет место Yлев,б/2=-Yпр,б/2. Если числовые значения критерия Zнаб попадает в интервал (-?, Yлев,б/2) или в (Yпр,б/2,+?), то принимаем гипотезу Н1; если Yлев,б/2<Zнаб< Yпр,б/2 , то принимаем гипотезу Н0.

По двум независимым выборкам, объёмы которых равны n=15, m=70, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, вычислены средние значения =146,4, 146,67.

При уровне значимости б=0,05 проверяем гипотезу Н0: М(Y1)=М(Y2) при конкурирующей гипотезе Н1: М(Y1)?М(Y2).

Наблюдаемое значение критерия равно:

(30)

По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству

(31)

Ф(Zкр)=0,475.

Получаем Yпр,б/2 = 1,96, Yлев,б/2 = - 1,96, т.к. критерий симметрично расположен относительно 0.

Т.к. -1,96<Zнабл <1,96, то наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Поэтому гипотеза Н0 о равенстве математических ожиданий подтверждается на уровне значимости б=0,05.