1.2.3 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

Пусть генеральные совокупности X и Y объёмом n и m соответственно распределены по нормальному закону, причём средние квадратические отклонения их известны и равны соответственно и . Требуется по двум независимым выборкам y₁..y_n и y₁..y_m из генеральных совокупностей Y и Y соответственно проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. основная гипотеза имеет вид:

Н₀: М(Y)=М(Y), (28)

Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на следующем соображении: так как приближённое представление о математическом ожидании даёт выборочное среднее, то в основе проверки гипотезы должно лежать сравнение выборочных средних . Найдём закон распределения разности . Эта разность является случайной величиной.

Если гипотеза Н₀ верна, то

, (29)

Пользуясь свойствами дисперсии, получим:

Так как случайная величина является линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин Y₁,…,Y_n, Y₁,…,Y_m, то случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а=0, . В качестве критерия выберем пронормированную случайную величину , т.е.

, (30)

Таким образом, если гипотеза верна , случайная величина К имеет нормальное распределение N (0,1).

Теперь зададимся уровнем значимости б и перейдём к построению критических областей и проверки гипотезы для трёх видов альтернативной гипотезы Н₁.

1) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н₁: М(Х)>М(Y). (31)

В этом случаи критическая область есть интервал (Y_пр,б,+?); где критическая точка Y_прб определяется из условия Р(N(0.1)> Y_прб)=б. Подставляем числовые значения, найдём значение случайных величин и значение критерия К_наб. Если К_наб> Y_прб, то гипотезу Н₀ отвергаем и принимаем гипотезу Н₁. Поступая таким образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью б.

2) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н₁: М(Y)<М(Y). (32)

В этом случаи критическая область имеет вид (-?, Y_лев,б), где критическая точка Х_лев,б находится из уравнения P(N(0.1)< Y_лев,б)=б. Вычислим числовое значение К_наб. Если оно попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н₁, в противном случае - гипотеза Н₀.

3) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н₁: М(Y)?М(Y). (33)

В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов (-?, Y_лев,б) и (Y_пр,б,+?).

Р (N(0,1)< Y_лев,б/2)=б/2; (34)

P (N(0,1)> Y_пр,б/2)=б/2. (35)

В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля имеет место _лев,б/2=-Y_пр,б/2. Если числовые значения критерия К_наб, вычисленное по формуле (7), попадает в интервал (-?, Y_лев,б/2) или в (Y_пр,б/2,+?), то принимаем гипотезу Н₁; если Y_лев,б/2<К_наб< Y_пр,б/2 , то принимаем гипотезу Н₀.

По двум независимым выборкам, объёмы которых равны n=15, m=50, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, вычислены средние значения =19,09, При уровне значимости б=0,05 проверить гипотезу Н₀: М(Y)=М(Y) при конкурирующей гипотезе

Н₁: М(Y)?М(Y).

Наблюдаемое значение критерия равно

(36)

По таблице определяем Х_пр,б/2 из условия

Ф(Y_пр,б/2)=(1-б)/2=0,475.

Получаем Y_пр,б/2=1,96, Y_лев,б/2=-1,96. Так как -1,96<0.5<1.96, то наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Поэтому гипотеза Н₀ о равенстве математических ожиданий подтверждается на уровне значимости б=0,05.

1.2.4 Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий

При обработке наблюдений часто возникает необходимость сравнить две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Рассмотрим две выборки Y и Y, средние значения которых соответственно равны 19,09 и 19,79, выборочные дисперсии 0,81 и 1,35. Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией у₁², а вторая - из генеральной совокупности с дисперсией у₂². Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий H_о: у₁²= у₂². Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различия между S₁² и S₂² при выбранном уровне значимости р. В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера. В условиях нулевой гипотезы у₁²= у₂² и у₁²/у₂²=1 и, следовательно,

F-распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения выборочных дисперсий S₁²/S₂². При доверительной вероятности 1-р двусторонняя доверительная оценка величины F имеет вид

F_p/2(f₁,f₂)?F?F_1-p/2(f₁,f₂) (37)

В условиях нулевой гипотезы F= S₁²/S₂², следовательно, с вероятностью 1-р должно выполняться двухстороннее неравенство

(38)

Вероятность неравенства равна уровню значимости р, они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, различие между дисперсиями нужно считать значимым.

Двусторонний критерий значимости (26) применяется для альтернативной гипотезы Н₁: у₁²?у₂², т.е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (26) надо проверять только правую часть, так как левая часть всегда выполняется по условию

(39)

При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если

(40)

Дисперсионное отношение F=0,81/1,35=0,6 надо сравнить с табличным для уровня значимости р=0,05 и чисел степеней свободы f₁=49 и f₂=14. =2,1.

0,47?0,6?2,1

Т.к. дисперсионное отношение попадает в доверительную область, с вероятностью 0,95 можно сказать, что полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.